偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$z = {tan}^{- 1} \frac{y}{x}$ $z = {tan}^{- 1} \frac{y}{x}$

■答

$\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ $\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は ${tan}^{- 1} x$ ${tan}^{- 1} x$ の微分の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する．
${tan}^{- 1} x$ ${tan}^{- 1} x$ の微分の公式を用いる．

$\frac{\partial z}{\partial x}$ $\frac{\partial z}{\partial x}$ $= \frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{\partial}{\partial x} \frac{y}{x}$ $= \frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{\partial}{\partial x} \frac{y}{x}$

$= \frac{1}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} (- \frac{y}{x^{2}})$ $= \frac{1}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} (- \frac{y}{x^{2}})$

$= \frac{- \frac{y}{x^{2}}}{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$ $= \frac{- \frac{y}{x^{2}}}{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

$= - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ $= - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する．
${tan}^{- 1} x$ ${tan}^{- 1} x$ の微分の公式を用いる．

$\frac{\partial z}{\partial y}$ $\frac{\partial z}{\partial y}$ $= \frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{x}$ $= \frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{x}$

$= \frac{1}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} (\frac{1}{x})$ $= \frac{1}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} (\frac{1}{x})$

$= \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$ $= \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

$= \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$ $= \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

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最終更新日： 2023年8月24日