問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={tan}^{-1}\frac{y}{x}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{x^2+y^2}}$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は ${\displaystyle {tan}^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
${\displaystyle {tan}^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(-\frac{y}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{-\frac{y}{x^2}}{\frac{x^2+y^2}{x^2}}}$

${\displaystyle =-\frac{y}{x^2+y^2}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．
${\displaystyle {tan}^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(\frac{1}{x}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^2+y^2}{x^2}}}$

${\displaystyle =\frac{x}{x^2+y^2}}$

　

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最終更新日： 2023年8月24日

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