偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$z = 3 sin (4 x^{3} - 7 y^{4})$ $z = 3 \sin (4 x^{3} - 7 y^{4})$

■答

$\frac{\partial z}{\partial x} = 36 x^{2} cos (4 x^{3} - 7 y^{4})$ $\frac{\partial z}{\partial x} = 36 x^{2} \cos (4 x^{3} - 7 y^{4})$

$\frac{\partial z}{\partial y} = - 84 y^{3} cos (4 x^{3} - 7 y^{4})$ $\frac{\partial z}{\partial y} = - 84 y^{3} \cos (4 x^{3} - 7 y^{4})$

■ヒント

合成関数の微分と $sin x$ $\sin x$ の微分の公式を使う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3 cos (4 x^{3} - 7 y^{4}) \times \frac{\partial}{\partial x} (4 x^{3} - 7 y^{4})$ $\frac{\partial z}{\partial x} = 3 \cos (4 x^{3} - 7 y^{4}) \times \frac{\partial}{\partial x} (4 x^{3} - 7 y^{4})$

$= 3 cos (4 x^{3} - 7 y^{4}) \cdot 12 x^{2}$ $= 3 \cos (4 x^{3} - 7 y^{4}) \cdot 12 x^{2}$

$= 36 x^{2} cos (4 x^{3} - 7 y^{4})$ $= 36 x^{2} \cos (4 x^{3} - 7 y^{4})$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial y} = 3 cos (4 x^{3} - 7 y^{4}) \times \frac{\partial}{\partial y} (4 x^{3} - 7 y^{4})$ $\frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cos (4 x^{3} - 7 y^{4}) \times \frac{\partial}{\partial y} (4 x^{3} - 7 y^{4})$

$= 3 \cos (4 x^{3} - 7 y^{4}) \cdot (- 28 y^{3})$

$= - 84 y^{3} \cos (4 x^{3} - 7 y^{4})$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>偏微分の基礎

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日