問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\sin }^{-1}3x^2{y}^3}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{6x{y}^3}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{9x^2{y}^2}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

■ヒント

${\displaystyle {sin}^{-1}}$ の微分を，合成関数の微分によって行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

${\displaystyle u=3x^2{y}^3}$ とおくと，

${\displaystyle z={\sin }^{-1}u}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}}$

${\displaystyle u=3x^2{y}^3}$ を代入する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(3x^2{y}^3\right)}^2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=6x{y}^3}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}\cdot 6x{y}^3}$

${\displaystyle =\frac{6x{y}^3}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=9x^2{y}^2}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(3x^2{y}^3\right)}^2}}\cdot 9x^2{y}^2}$

${\displaystyle =\frac{9x^2{y}^2}{\sqrt{1-9x^4{y}^6}}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日

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