次の関数を偏微分せよ．
z= cos −1 y x
∂z ∂x = y x x 2 − y 2
∂z ∂y =− 1 x 2 − y 2
cos −1 x の微分を，合成関数の微分によって行う． 偏導関数の定義を用いて偏微分する． 微分後の式に数値を代入する．
u= y x とおくと，
z= cos −1 u
∂z ∂u =− 1 1− u 2
u= y x を代入する．
∂z ∂u =− 1 1− ( y x ) 2
=− 1 1− y 2 x 2
両辺にxをかける．
=− x⋅1 x⋅ 1− y 2 x 2
=− x x 2 − y 2
u= y x を xと yでそれぞれ偏微分する．
∂u ∂x =− y x 2
∂u ∂y = 1 x
偏導関数の定義より， y を定数とみなして x で微分する．
∂z ∂x = ∂z ∂u ⋅ ∂u ∂x
=− x x 2 − y 2 ⋅( − y x 2 )
= xy x 2 x 2 − y 2
= y x x 2 − y 2
偏導関数の定義より， x を定数とみなして y で微分する．
∂z ∂y = ∂z ∂u ⋅ ∂u ∂y
=− x x 2 − y 2 ⋅ 1 x
=− 1 x 2 − y 2
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最終更新日： 2023年8月24日
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