偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$z = \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{y}}$

■答

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2 (x + y) \sqrt{\frac{x}{y}}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{\sqrt{\frac{x}{y}}}{2 (x + y)}$

■ヒント

合成関数の微分を用いて偏微分する．
微分の際は ${tan}^{- 1} x$ の微分の公式を用いる．

定義域は， $\frac{x}{y} \geq 0$ より， $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y > 0 \end{cases}$ および $\{\begin{cases} x \leq 0 \\ y < 0 \end{cases}$ である．

■解説

$z = \tan^{- 1} \sqrt{\frac{x}{y}}$ である．を以下のような合成関数と考える．

$z = \tan^{- 1} u$

$u = \sqrt{v} = v^{\frac{1}{2}}$

$v = \frac{x}{y}$

$\frac{d z}{d u}$ ， $\frac{d u}{d v}$ ， $\frac{\partial v}{\partial x}$ ， $\frac{\partial v}{\partial y}$ を計算する．

$\frac{d z}{d u} = \frac{1}{1 + u^{2}}$

$\frac{d u}{d v} = \frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{v}}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{y}$

$\frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{x}{y^{2}}$

以上より

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d z}{d u} \frac{d u}{d v} \frac{\partial v}{\partial x}$ $= \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{v}} \frac{1}{y}$ $= \frac{1}{1 + \frac{x}{y}} \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{y}}} \frac{1}{y}$ $= \frac{1}{2 (x + y) \sqrt{\frac{x}{y}}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d z}{d u} \frac{d u}{d v} \frac{\partial v}{\partial y}$ $= \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{v}} (- \frac{x}{y^{2}})$ $= \frac{1}{1 + \frac{x}{y}} \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{y}}} (- \frac{x}{y^{2}})$ $= - \frac{\sqrt{\frac{x}{y}}}{2 (x + y)}$

となる．

【参考】

$\{\begin{cases} x \leq 0 \\ y < 0 \end{cases}$ の場合，以下の微分は注意が必要である．

$\frac{\partial}{\partial x} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{\frac{- x}{- y}}$ $= \frac{\partial}{\partial x} \frac{\sqrt{- x}}{\sqrt{- y}} = \frac{1}{\sqrt{- y}} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{- x}} (- 1)$ $= - \frac{1}{2 \sqrt{x y}}$ $= - \frac{1}{2 \sqrt{- x} \sqrt{- y}}$ $= - \frac{1}{2 \sqrt{- x} \sqrt{- y} \frac{\sqrt{- y}}{\sqrt{- y}}}$ $= - \frac{1}{2 (- y) \sqrt{\frac{- x}{- y}}}$ $= \frac{1}{2 y \sqrt{\frac{x}{y}}}$

$\frac{\partial}{\partial y} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{\frac{- x}{- y}}$ $= \frac{\partial}{\partial x} \frac{\sqrt{- x}}{\sqrt{- y}}$ $= \sqrt{- x} (- \frac{1}{2}) \frac{1}{- y \sqrt{- y}} (- 1)$ $= - \frac{\sqrt{- x}}{2 y \sqrt{- y}}$ $= - \frac{1}{2 y} \sqrt{\frac{x}{y}}$ $= - \frac{1}{2 y} \sqrt{\frac{x}{y}} \frac{\sqrt{\frac{x}{y}}}{\sqrt{\frac{x}{y}}}$ $= - \frac{1}{2 y} \frac{x}{y} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}}$ $= - \frac{x}{2 y^{2} \sqrt{\frac{x}{y}}}$

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最終更新日： 2023年9月5日