問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

偏微分とその値

■問題

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\sqrt{x^2-xy}}$

■答

${\displaystyle {\displaystyle f_x\left(1,-2\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}}}$ ， ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}}$

■ヒント

1. 平方根を累乗根の指数に変形し，合成関数の微分を行う．
2. 偏導関数の定義を用いて偏微分する．
3. 微分後の式に数値を代入する．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を変形すると

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\sqrt{x^2-xy}}$

${\displaystyle ={\left(x^2-xy\right)}^{\frac{1}{2}}}$

(平方根を累乗根の指数に変形する． 指数が有理数の場合も参照．)

更に， ${\displaystyle u=x^2-xy}$ とおくと

${\displaystyle f\left(x,y\right)=u^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle u}$ で微分し， ${\displaystyle u=x^2-xy}$ を代入する．

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}·u^{\frac{1}{2}-1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{u}}}$ (平方根を累乗根の指数に変形する． 指数が有理数の場合も参照．)

${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{x^2-xy}}}$

${\displaystyle u}$ を ${\displaystyle x}$ で偏微分すると

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$ ${\displaystyle =2x-y}$

よって， ${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle x}$ で偏微分すると

(偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．)

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)\times \frac{\partial u}{\partial x}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{x^2-xy}}\times \left(2x-y\right)}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{2x-y}{2\sqrt{x^2-xy}}}$

${\displaystyle \frac{2x-y}{2\sqrt{x^2-xy}}}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

$f_x\left(1,-2\right)$ ${\displaystyle =\frac{2·1-\left(-2\right)}{2\sqrt{1^2-1·\left(-2\right)}}}$

${\displaystyle =\frac{2+2}{2\sqrt{1+2}}}$

${\displaystyle =\frac{4}{2\sqrt{3}}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{3}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}$ ${\displaystyle =-x}$

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)\times \frac{\partial u}{\partial y}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{x^2-xy}}\times \left(-x\right)}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{x}{2\sqrt{x^2-xy}}}$

${\displaystyle -\frac{x}{2\sqrt{x^2-xy}}}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

$f_y\left(1,-2\right)$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2\sqrt{1^2-1\cdot \left(-2\right)}}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2\sqrt{1+2}}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2\sqrt{3}}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年11月24日

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