偏微分とその値

■問題

次の関数について $f_{x} (1, - 2)$ $f_{x} (1, - 2)$ と $f_{y} (1, - 2)$ $f_{y} (1, - 2)$ を求めよ．

$f (x, y) = \sqrt{x^{2} - x y}$ $f (x, y) = \sqrt{x^{2} - x y}$

■答

それぞれ， $\frac{2}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ と $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

■ヒント

平方根を累乗根の指数に変形し，合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

$f (x, y)$ $f (x, y)$ を変形すると

$f (x, y)$ $f (x, y)$ $= \sqrt{x^{2} - x y}$ $= \sqrt{x^{2} - x y}$

$= {(x^{2} - x y)}^{\frac{1}{2}}$ $= {(x^{2} - x y)}^{\frac{1}{2}}$

(平方根を累乗根の指数に変形する．指数が有理数の場合も参照．)

更に， $u = x^{2} - x y$ $u = x^{2} - x y$ とおくと

$f (x, y) = u^{\frac{1}{2}}$ $f (x, y) = u^{\frac{1}{2}}$

$f (x, y)$ $f (x, y)$ を $u$ $u$ で微分し， $u = x^{2} - x y$ $u = x^{2} - x y$ を代入する．

$\frac{d}{d u} f (x, y)$ $\frac{d}{d u} f (x, y)$ $= \frac{1}{2} \cdot u^{\frac{1}{2} - 1}$ $= \frac{1}{2} \cdot u^{\frac{1}{2} - 1}$

$= \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}$ $= \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}$

$= \frac{1}{2 \sqrt{u}}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{u}}$ (平方根を累乗根の指数に変形する．指数が有理数の場合も参照．)

$= \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$

$u$ $u$ を $x$ $x$ で偏微分すると

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $\frac{\partial u}{\partial x}$ $= 2 x - y$ $= 2 x - y$

よって， $z$ $z$ を $x$ $x$ で偏微分すると

(偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する．)

$\frac{d}{d u} f (x, y) \times \frac{\partial u}{\partial x}$ $\frac{d}{d u} f (x, y) \times \frac{\partial u}{\partial x}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x y}} \times (2 x - y)$ $= \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x y}} \times (2 x - y)$

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ $\frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ $= \frac{2 x - y}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$ $= \frac{2 x - y}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$

$\frac{2 x - y}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$ $\frac{2 x - y}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$ に $x = 1, y = - 2$ $x = 1, y = - 2$ を代入する．

$f_{x} (1, - 2)$ $f_{x} (1, - 2)$ $= \frac{2 \cdot 1 - (- 2)}{2 \sqrt{1^{2} - 1 \cdot (- 2)}}$ $= \frac{2 \cdot 1 - (- 2)}{2 \sqrt{1^{2} - 1 \cdot (- 2)}}$

$= \frac{2 + 2}{2 \sqrt{1 + 2}}$ $= \frac{2 + 2}{2 \sqrt{1 + 2}}$

$= \frac{4}{2 \sqrt{3}}$ $= \frac{4}{2 \sqrt{3}}$

$= \frac{2}{\sqrt{3}}$ $= \frac{2}{\sqrt{3}}$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する．

$\frac{\partial u}{\partial y}$ $\frac{\partial u}{\partial y}$ $= - x$ $= - x$

$\frac{d}{d u} f (x, y) \times \frac{\partial u}{\partial y}$ $\frac{d}{d u} f (x, y) \times \frac{\partial u}{\partial y}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x y}} \times (- x)$ $= \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - x y}} \times (- x)$

$\frac{\partial}{\partial y} f (x, y)$ $\frac{\partial}{\partial y} f (x, y)$ $= - \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$ $= - \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$

$- \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$ $- \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} - x y}}$ に $x = 1, y = - 2$ $x = 1, y = - 2$ を代入する．

$f_{y} (1, - 2)$ $f_{y} (1, - 2)$ $= - \frac{1}{2 \sqrt{1^{2} - 1 \cdot (- 2)}}$ $= - \frac{1}{2 \sqrt{1^{2} - 1 \cdot (- 2)}}$

$= - \frac{1}{2 \sqrt{1 + 2}}$ $= - \frac{1}{2 \sqrt{1 + 2}}$

$= - \frac{1}{2 \sqrt{3}}$ $= - \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

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最終更新日： 2024年5月7日