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問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．
偏微分とその値
■問題
次の関数について fx(1,−2) と fy(1,−2) を求めよ．
f(x,y)=sin−1xy
■答
それぞれ，−1√3，−12√3■ヒント
sin−1
の微分を，合成関数の微分によって行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．
■解説
u=xy とおくと
f(x,y)=sin−1u
微分する．
dduf(x,y)=1√1−u2
u=xy を代入する．
=1√1−(xy)2
=1√1−x2y2
通分する．
=1√y2−x2y2
=√y2y2−x2
∂u∂x=1y
偏導関数の定義より， y を定数とみなして x で微分する．
dduf(x,y)×∂u∂x =√y2y2−x2×(1y)=1y√y2y2−x2
∂∂xf(x,y)=1y√y2y2−x2
1y√y2y2−x2 に x=1 , y=−2 を代入する．
fx(1,−2) =√(−2)2(−2)2−12×(1−2) =2√3×(1−2) =−1√3
∂u∂y=−xy2
偏導関数の定義より， x を定数とみなして y で微分する．
dduf(x,y)×∂u∂y=√y2y2−x2×(−xy2) =−xy2√y2y2−x2
∂∂yf(x,y)=−xy2√y2y2−x2
−xy2√y2y2−x2 に x=1 , y=−2 を代入する．
fy(1,−2)=−1(−2)2√(−2)2(−2)2−12 =−12√3
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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月7日
