問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

偏微分とその値

■問題

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$

■答

それぞれ，${\displaystyle \frac{2}{5}}$，${\displaystyle \frac{1}{5}}$

■ヒント

${\displaystyle {\tan }^{-1}}$ の微分を，合成関数の微分によって行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

${\displaystyle u=\frac{y}{x}}$ とおくと

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial x}{\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$${\displaystyle =\frac{d}{du}{\tan }^{-1}u\frac{\partial u}{\partial x}}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y}{\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$${\displaystyle =\frac{d}{du}{\tan }^{-1}u\frac{\partial u}{\partial y}}$

となる．

${\displaystyle \frac{d}{du}{\tan }^{-1}u=\frac{1}{1+u^2}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{x}=-\frac{y}{x^2}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{x}=\frac{1}{x}}$

よって

${\displaystyle \frac{d}{du}{\tan }^{-1}u\frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{1+u^2}\left(-\frac{y}{x^2}\right)}$${\displaystyle =-\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{y}{x^2}}$${\displaystyle =-\frac{y}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle \frac{d}{du}{\tan }^{-1}u\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{1+u^2}\frac{1}{x}}$${\displaystyle =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{1}{x}}$${\displaystyle =\frac{x}{x^2+y^2}}$

すなわち

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=\frac{x}{x^2+y^2}}$

となる．

${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)=\frac{-\left(-2\right)}{1^2+{\left(-2\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}}$

${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)=\frac{1}{1^2+{\left(-2\right)}^2}=\frac{1}{5}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年5月7日

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