偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

$z = \frac{1}{x} f (\frac{y}{x})$ $z = \frac{1}{x} f (\frac{y}{x})$ ならば $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} + z = 0$ $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} + z = 0$ である．

■ヒント

$z$ $z$ を $x, y$ $x, y$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる．このとき，積の微分と合成関数の微分を用いる．

■解説

$u = \frac{y}{x}$ $u = \frac{y}{x}$ とおくと

$z = \frac{1}{x} f (u)$ $z = \frac{1}{x} f (u)$ ， $\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{y}{x^{2}}$ $\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{y}{x^{2}}$ ， $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x}$ $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x}$

偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する（ここを参照）．

$\frac{\partial z}{\partial x} = \{\frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{x})\} \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial x} f (u)$ $\frac{\partial z}{\partial x} = \{\frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{x})\} \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial x} f (u)$

$= \{\frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{x})\} \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$ $= \{\frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{x})\} \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

$= (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot f (\frac{y}{x}) + \frac{1}{x} \cdot f^{'} (\frac{y}{x}) \cdot (- \frac{y}{x^{2}})$ $= (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot f (\frac{y}{x}) + \frac{1}{x} \cdot f^{'} (\frac{y}{x}) \cdot (- \frac{y}{x^{2}})$

$= - \frac{1}{x^{2}} \cdot f (\frac{y}{x}) - \frac{y}{x^{3}} \cdot f^{'} (\frac{y}{x})$ $= - \frac{1}{x^{2}} \cdot f (\frac{y}{x}) - \frac{y}{x^{3}} \cdot f^{'} (\frac{y}{x})$

より

$- \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{1}{x^{2}} f (\frac{y}{x}) = \frac{y}{x^{3}} f^{'} (\frac{y}{x})$ $- \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{1}{x^{2}} f (\frac{y}{x}) = \frac{y}{x^{3}} f^{'} (\frac{y}{x})$

$- \frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{x}{y} f (\frac{y}{x}) = f^{'} (\frac{y}{x})$ $- \frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{x}{y} f (\frac{y}{x}) = f^{'} (\frac{y}{x})$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する（ここを参照）．

$\frac{\partial z}{\partial y} = \{\frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{x})\} \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial y} f (u)$ $\frac{\partial z}{\partial y} = \{\frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{x})\} \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial y} f (u)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \{\frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{x})\} \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = \{\frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{x})\} \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$

$= 0 \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot f^{'} (\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{x}$ $= 0 \cdot f (u) + \frac{1}{x} \cdot f^{'} (\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{x}$

$= \frac{1}{x^{2}} \cdot f^{'} (\frac{y}{x})$ $= \frac{1}{x^{2}} \cdot f^{'} (\frac{y}{x})$

より

$x^{2} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = f^{'} (\frac{y}{x})$ $x^{2} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = f^{'} (\frac{y}{x})$

以上から

$- \frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{x}{y} f (\frac{y}{x}) = x^{2} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$ $- \frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{x}{y} f (\frac{y}{x}) = x^{2} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$

$\frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + x^{2} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{x}{y} f (\frac{y}{x}) = 0$ $\frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + x^{2} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{x}{y} f (\frac{y}{x}) = 0$

両辺に $\frac{y}{x^{2}}$ $\frac{y}{x^{2}}$ をかける．

$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{1}{x} f (\frac{y}{x}) = 0$ $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{1}{x} f (\frac{y}{x}) = 0$

$z = \frac{1}{x} f (\frac{y}{x})$ $z = \frac{1}{x} f (\frac{y}{x})$ を代入する．

$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} + z = 0$ $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} + z = 0$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月25日

偏微分を含む証明

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