合成関数の偏微分

■問題

$z = x y, x = 2 t^{2} + 1, y = t^{2} + 3 t + 1$ のとき， $\frac{d z}{d t}$ を求めよ．

$= 8 t^{3} + 18 t^{2} + 6 t + 3$

$\frac{d x}{d t} = 4 t$

$\frac{d y}{d t} = 2 t + 3$

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分すると,

$z_{x} = \frac{\partial z}{\partial x} = y$

偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分すると,

$z_{y} = \frac{\partial z}{\partial y} = x$

$\frac{d z}{d t}$ $= z_{x} \frac{d x}{d t} + z_{y} \frac{d y}{d t}$

上で求めた式をそれぞれ代入すると,

$= y (4 t) + x (2 t + 3)$

$= (t^{2} + 3 t + 1) (4 t)$ $+ (2 t^{2} + 1) (2 t + 3)$

$= 4 t^{3} + 12 t^{2} + 4 t + 4 t^{3} + 6 t^{2} + 2 t + 3$

$= 8 t^{3} + 18 t^{2} + 6 t + 3$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月28日