合成関数の偏微分

■問題

$z = f (x, y)$ , $x = u \cos α - v \sin α$ , $y = u \sin α + v \cos α$ ならば

${(\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}^{2}$ $= {(\frac{\partial z}{\partial u})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial v})}^{2}$

となることを示せ．

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

●参考

$x = u \cos α - v \sin α$ , $y = u \sin α + v \cos α$ の変換を行列を使って表すと

$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} u \cos α - v \sin α \\ u \sin α + v \cos α \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}) (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})$

$(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) = {(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} \cos α & \sin α \\ - \sin α & \cos α \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} \cos (- α) & - \sin (- α) \\ \sin (- α) & \cos (- α) \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

杜なる．すなわち， $(x, y)$ から $(u, v)$ の変数変換は，幾何学的にいうと $z$ 軸を回転の中心として原点を中心として $- α$ 回転したものになる．2次元回転行列を参照．

■解答

$z$ を $u$ で合成関数の偏微分をすると

$\frac{\partial z}{\partial v} = f_{x} \frac{\partial x}{\partial v} + f_{y} \frac{\partial y}{\partial v}$ $= f_{x} \cos α + f_{y} \sin α$

となる．

同様に， $z$ を $v$ で合成関数の偏微分をすると

$\frac{\partial z}{\partial v} = f_{x} \frac{\partial x}{\partial v} + f_{y} \frac{\partial y}{\partial v}$

$= f_{x} (- \sin α) + f_{y} \cos α$

$= f_{y} \cos α - f_{x} \sin α$

したがって

${(\frac{\partial z}{\partial u})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial v})}^{2}$

$= {(f_{x} cos α + f_{y} sin α)}^{2} + {(f_{y} cos α - f_{x} sin α)}^{2}$

$= (f_{x}^{2} {cos}^{2} α + 2 f_{x} f_{y} sin α cos α + f_{y}^{2} {sin}^{2} α)$ $+ (f_{y}^{2} {cos}^{2} α - 2 f_{x} f_{y} sin α cos α + f_{x}^{2} {sin}^{2} α)$

$= f_{x}^{2} {cos}^{2} α + 2 f_{x} f_{y} sin α cos α + f_{y}^{2} {sin}^{2} α$ $+ f_{y}^{2} {cos}^{2} α - 2 f_{x} f_{y} sin α cos α + f_{x}^{2} {sin}^{2} α$

$= ({sin}^{2} α + {cos}^{2} α) f_{x}^{2} + ({sin}^{2} α + {cos}^{2} α) f_{y}^{2}$

$= f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$

$= {(\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}^{2}$

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学生スタッフ作成

2023年8月29日