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2次の偏微分
■問題
次の関数の第2次偏導関数を求めよ．
z=log(x−y)
■答
∂2z∂x2=−1(x−y)2 ，∂2z∂y2=−1(x−y)2 ，∂∂y(∂z∂x)=1(x−y)2
■ヒント
偏導関数の定義を用いて2次の偏微分を行う．
■解説
偏導関数の定義より， y を定数とみなして x で微分する．
∂z∂x=1x−y · ∂∂x(x−y)
=1x−y · 1
=1x−y
=(x−y)−1
これを更に x で偏微分すると，
∂2z∂x2=∂∂x(∂z∂x)
=∂∂x{(x−y)−1}
=−1 · (x−y)−2 · ∂∂x(x−y)
=−(x−y)−2 · 1
=−(x−y)−2
=−1(x−y)2
同様の手順で 偏導関数の定義より， x を定数とみなして y で微分する．
∂z∂y=1x−y · ∂∂y(x−y)
=1x−y · (−1)
=−1x−y
=−(x−y)−1
∂2z∂y2=∂∂y(∂z∂y)
=∂∂y{−(x−y)−1}
=−1 · −(x−y)−2 · ∂∂y(x−y)
=(x−y)−2 · (−1)
=−(x−y)−2
=−1(x−y)2
また，２次偏導関数は偏微分する順序には無関係であるから， z を x で偏微分した後 y で偏微分すると，
∂z∂x =(x−y)−1
∂∂y(∂z∂x)=∂2∂y∂x
=∂∂y{(x−y)−1}
=−1 · (x−y)−2 · ∂∂y(x−y)
=−(x−y)−2 · (−1)
=(x−y)−2
=1(x−y)2 ･･････(1)
z を y で偏微分した後 x で偏微分すると，
∂z∂y=−(x−y)−1
∂∂x(∂z∂y)=∂2∂x∂y
=∂z∂x{−(x−y)−1}
=−(−1)(x−y)−2⋅1
=(x−y)−2
=1(x−y)2 ･･････(2)
(1)，(2)より
∂2z∂y∂x=∂2z∂x∂y
となり，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．
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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年8月29日
