問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$

■答

${\displaystyle -\frac{2}{{\left(x+y\right)}^3}}$

■ヒント

まず， ${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$ より定義した ${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=0}$ となる2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を $x$ で微分する．その結果から ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

⇒別解

与式を変形すると

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2-1=0}$

となる．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)}$ ${\displaystyle =3x^2+2xy+y^2-1}$

とおく． ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle x=x}$ ， ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを ${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$

合成関数の偏導関数の公式を用た．

${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$ ･･････(1)

ここで

${\displaystyle f_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(3x^2+2xy+y^2-1\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =6x+2y}$

${\displaystyle =2\left(3x+y\right)}$ ･･････(2)

${\displaystyle f_y}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(3x^2+2xy+y^2-1\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle =2x+2y}$

${\displaystyle =2\left(x+y\right)}$ ･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =-\frac{2\left(3x+y\right)}{2\left(x+y\right)}}$ ${\displaystyle =-\frac{3x+y}{x+y}}$ ･･････(4)

となる．

${\displaystyle g\left(x,y\right)=g\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=-\frac{3x+y}{x+y}}$ ･･････(5)

とおく．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{g\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle g\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle x=x}$ ， ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを ${\displaystyle x}$ で微分する．このとき合成関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$ ･･････(6)

ここで

${\displaystyle g_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}g\left(x,y\right)}$

(5)を代入する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{3x+y}{x+y}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{3x+y}{x+y}\right)}$

分数関数（商）の導関数の公式を用いる．

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =-\frac{3·\left(x+y\right)-\left(3x+y\right)·1}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{3x+3y-3x-y}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{2y}{{\left(x+y\right)}^2}}$ ･･････(7)

${\displaystyle g_y}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}g\left(x,y\right)}$

(5)を代入する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{3x+y}{x+y}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{3x+y}{x+y}\right)}$

分数関数（商）の導関数の公式を用いる．

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle =-\frac{1·\left(x+y\right)-\left(3x+y\right)·1}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{x+y-3x-y}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-2x}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2x}{{\left(x+y\right)}^2}}$ ･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．

${\displaystyle =-\frac{2y}{{\left(x+y\right)}^2}-\frac{2x\left(3x+y\right)}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\left\{\frac{2y}{{\left(x+y\right)}^2}+\frac{2x\left(3x+y\right)}{{\left(x+y\right)}^3}\right\}}$

${\displaystyle =-\frac{2y\left(x+y\right)+2x\left(3x+y\right)}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{2xy+2y^2+6x^2+2xy}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{6x^2+4xy+2y^2}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{2\left(3x^2+2xy+y^2\right)}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$ の関係から

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{2}{{\left(x+y\right)}^3}}$

●グラフ

点 $\text{P}$ をドラックして曲線 $3x^2+2xy+y^2=1$ 上を動かすと， ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ のグラフ(青色)， ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ のグラフ(緑色)が描かれる．

■別解

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$ の両辺を $x$ で微分する．

${\displaystyle 6x+2y+2x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0}$ ･･････(9)

( ${\displaystyle \frac{d}{dx}{y}^2}$ についてはここを参照)

(9)を ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ について解く．

${\displaystyle 6x+2y+\left(2x+2y\right)\frac{dy}{dx}=0}$

${\displaystyle \left(2x+2y\right)\frac{dy}{dx}=-6x-2y}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{6x+2y}{2x+2y}=-\frac{3x+y}{x+y}}$ ･･････(10)

(9)を ${\displaystyle x}$ さらに ${\displaystyle x}$ で微分する．

(11)を ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ について解く．

${\displaystyle \left(x+y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-3-2\frac{dy}{dx}-{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$ ･･････(12)

(12)に(10)を代入する．

${\displaystyle \left(x+y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-6x^2-4xy-2y^2}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle \left(x+y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-2\left(3x^2-2xy-y^2\right)}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle \left(x+y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-2}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$ の関係から

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{2}{{\left(x+y\right)}^3}}$

　

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最終更新日： 2025年1月20日

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