陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 $y = ϕ (x)$ $y = ϕ (x)$ について $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ を求めよ．

$y^{2} = 4 p x$ $y^{2} = 4 p x$

■答

$- \frac{4 p^{2}}{y^{3}}$ $- \frac{4 p^{2}}{y^{3}}$

■ヒント

まず， $y^{2} = 4 p x$ $y^{2} = 4 p x$ より定義した $f (x, y) = f (x, ϕ (x)) = 0$ $f (x, y) = f (x, ϕ (x)) = 0$ となる2変数関数 $f (x, y)$ $f (x, y)$ を $x$ $x$ で微分する．その結果から $\frac{d y}{d x}$ $\frac{d y}{d x}$ を求める．

■解説

⇒別解

与式を変形すると

$y^{2} - 4 p x = 0$ $y^{2} - 4 p x = 0$

となる．

$f (x, y) = f (x, ϕ (x)) = y^{2} - 4 p x$ $f (x, y) = f (x, ϕ (x)) = y^{2} - 4 p x$

とおく． $f (x, y)$ $f (x, y)$ を $x = x$ $x = x$ ， $y = ϕ (x)$ $y = ϕ (x)$ とする合成関数と考えて，これを $x$ $x$ で微分すると

$\frac{d}{d x} f (x, y)$ $\frac{d}{d x} f (x, y)$ $= f_{x} \frac{d x}{d x} + f_{y} \frac{d y}{d x}$ $= f_{x} \frac{d x}{d x} + f_{y} \frac{d y}{d x}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

$= f_{x} + f_{y} \frac{d y}{d x} = 0$ $= f_{x} + f_{y} \frac{d y}{d x} = 0$

よって

$f_{y} \frac{d y}{d x}$ $f_{y} \frac{d y}{d x}$ $= - f_{x}$ $= - f_{x}$

$\frac{d y}{d x}$ $\frac{d y}{d x}$ $= - \frac{f_{x}}{f_{y}}$ $= - \frac{f_{x}}{f_{y}}$ 　･･････(1)

ここで

$f_{x}$ $f_{x}$ $= \frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$

$= \frac{\partial}{\partial x} (y^{2} - 4 p x)$ $= \frac{\partial}{\partial x} (y^{2} - 4 p x)$

偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する．

$= - 4 p$ $= - 4 p$ 　･･････(2)

$f_{y}$ $f_{y}$ $= \frac{\partial}{\partial y} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial y} f (x, y)$

$= \frac{\partial}{\partial y} (y^{2} - 4 p x)$ $= \frac{\partial}{\partial y} (y^{2} - 4 p x)$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する．

$= 2 y$ $= 2 y$ 　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

$\frac{d y}{d x}$ $\frac{d y}{d x}$ $= - \frac{f_{x}}{f_{y}}$ $= - \frac{f_{x}}{f_{y}}$ $= - \frac{(- 4 p)}{2 y}$ $= - \frac{(- 4 p)}{2 y}$ $= \frac{2 p}{y}$ $= \frac{2 p}{y}$ 　･･････(4)

となる．

$g (x, y) = g (x, ϕ (x)) = \frac{2 p}{y}$ $g (x, y) = g (x, ϕ (x)) = \frac{2 p}{y}$ 　･･････(5)

とおく．

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $= \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})$ $= \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})$

$= \frac{d}{d x} {g (x, y)}$ $= \frac{d}{d x} {g (x, y)}$

$g (x, y)$ $g (x, y)$ を $x = x$ $x = x$ ， $y = ϕ (x)$ $y = ϕ (x)$ とする合成関数と考えて，これを $x$ $x$ で微分する．このとき合成関数の偏導関数の公式を用いる．

$= g_{x} + g_{y} \frac{d y}{d x}$ $= g_{x} + g_{y} \frac{d y}{d x}$ 　･･････(6)

ここで

$g_{x}$ $g_{x}$ $= \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$

(5)を代入する．

$= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{2 p}{y})$ $= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{2 p}{y})$

偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分する．

$= 0$ $= 0$ 　･･････(7)

$g_{y}$ $g_{y}$ $= \frac{\partial}{\partial y} g (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial y} g (x, y)$

$= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{2 p}{y})$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{2 p}{y})$

$= \frac{\partial}{\partial y} (2 p y^{- 1})$ $= \frac{\partial}{\partial y} (2 p y^{- 1})$

偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分する．

$= - 2 p y^{- 2}$ $= - 2 p y^{- 2}$

$= - \frac{2 p}{y^{2}}$ $= - \frac{2 p}{y^{2}}$ 　･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．　

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $= g_{x} + g_{y} \frac{d y}{d x}$ $= g_{x} + g_{y} \frac{d y}{d x}$

$= 0 + (- \frac{2 p}{y^{2}}) \cdot \frac{2 p}{y}$ $= 0 + (- \frac{2 p}{y^{2}}) \cdot \frac{2 p}{y}$

$= - \frac{4 p^{2}}{y^{3}}$ $= - \frac{4 p^{2}}{y^{3}}$

■別解

$y^{2} = 4 p x$ $y^{2} = 4 p x$ の両辺を $x$ $x$ で微分する．

$2 y \frac{d y}{d x} = 4 p$ $2 y \frac{d y}{d x} = 4 p$ 　･･････(9)

( $\frac{d}{d x} y^{2}$ $\frac{d}{d x} y^{2}$ についてはここを参照)

(9)を $\frac{d y}{d x}$ $\frac{d y}{d x}$ について解く．

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 p}{y}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{2 p}{y}$ 　･･････(10)

(9)を $x$ $x$ さらに $x$ $x$ で微分する．

$2 \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d y}{d x} + 2 y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ $2 \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d y}{d x} + 2 y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ 　･･････(11)

(11)を $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ について解く．

${(\frac{d y}{d x})}^{2} + y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ ${(\frac{d y}{d x})}^{2} + y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{y} {(\frac{d y}{d x})}^{2}$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{y} {(\frac{d y}{d x})}^{2}$ 　･･････(12)

(12)に(10)を代入する．

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{y} {(\frac{2 p}{y})}^{2} = - \frac{4 p^{2}}{y^{3}}$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{y} {(\frac{2 p}{y})}^{2} = - \frac{4 p^{2}}{y^{3}}$

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最終更新日： 2023年9月15日