問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle y^2=4px}$

■答

${\displaystyle -\frac{4p^2}{y^3}}$ 

■ヒント

まず，${\displaystyle y^2=4px}$より定義した${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=0}$ となる2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を$x$ で微分する．その結果から${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

⇒別解

与式を変形すると

${\displaystyle y^2-4px=0}$

となる．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=y^2-4px}$

とおく． ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$　･･････(1)

ここで

${\displaystyle f_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2-4px\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =-4p}$　･･････(2)

${\displaystyle f_y}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2-4px\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$で微分する．

${\displaystyle =2y}$　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$${\displaystyle =-\frac{\left(-4p\right)}{2y}}$${\displaystyle =\frac{2p}{y}}$　･･････(4)

となる．

${\displaystyle g\left(x,y\right)=g\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=\frac{2p}{y}}$　･･････(5)

とおく．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{g\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle g\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分する．このとき合成関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$　･･････(6)

ここで

${\displaystyle g_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}g\left(x,y\right)}$

(5)を代入する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{2p}{y}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =0}$　･･････(7)

${\displaystyle g_y}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}g\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{2p}{y}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(2p{y}^{-1}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle =-2p{y}^{-2}}$

${\displaystyle =-\frac{2p}{y^2}}$　･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．　

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle =0+\left(-\frac{2p}{y^2}\right)·\frac{2p}{y}}$

${\displaystyle =-\frac{4p^2}{y^3}}$

■別解

${\displaystyle y^2=4px}$の両辺を$x$で微分する．

${\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}=4p}$　･･････(9)

(${\displaystyle \frac{d}{dx}{y}^2}$ についてはここを参照)

(9)を${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ について解く．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y}}$　･･････(10)

(9)を${\displaystyle x}$ さらに${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle 2\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dy}{dx}+2y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0}$　･･････(11)

(11)を${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ について解く．

${\displaystyle {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{y}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$　･･････(12)

(12)に(10)を代入する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{y}{\left(\frac{2p}{y}\right)}^2=-\frac{4p^2}{y^3}}$

　

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最終更新日： 2023年9月15日

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