問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

陰関数の接線の方程式

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ における接線の方程式を求めよ．

${\displaystyle x^3+y^3-xy=0}$

■答

${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle =1}$

■ヒント

2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を$x$ で微分する．その結果から接線の傾き${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=x^3+y^3-xy}$

とおく． ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$

ここで， ${\displaystyle \frac{dx}{dy}}$ は，この関数の任意の点での接線の傾きであるから，点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ での傾きを ${\displaystyle m}$ とすると

${\displaystyle m=-\frac{f_x\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}}$

となる．点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ における接線の方程式は

${\displaystyle y-\frac{1}{2}=m\left(x-\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle y-b=-\frac{f_x\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}{f_y\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}\left(x-a\right)}$　･･････(1)

ここで ${\displaystyle f_x,f_y}$ はそれぞれ

${\displaystyle f_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^3+y^3-xy\right)}$

${\displaystyle =3x^2-y}$

${\displaystyle f_y}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$で微分する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(x^3+y^3-xy\right)}$

${\displaystyle =3y^2-x}$

となり，点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ での値はそれぞれ

${\displaystyle f_x\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ ${\displaystyle =3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}}$　･･････(2)

${\displaystyle f_y\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)}$ ${\displaystyle =3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}}$　･･････(3)

である．(2)，(3)を(1)に代入する．

${\displaystyle y-\frac{1}{2}}$${\displaystyle =-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\left(x-\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle y=\left(-1\right)·\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle y=-x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle x+y=1}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月16日

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