問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^3+y^3-12x-27y}$

■答

点 ${\displaystyle \left(2,3\right)}$ で極小値 ${\displaystyle -70}$ をとり，点 ${\displaystyle \left(-2,-3\right)}$ で極大値 ${\displaystyle 70}$をとる．

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する．

与えられた関数を ${\displaystyle x,y}$ でそれぞれ偏微分し，連立方程式

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=0}\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=0}\end{array}}$

とし，その解${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(a,b\right)}$を求める．

更に

${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\left(x,y\right)=f_{xx}\left(x,y\right)}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial y^2}f\left(x,y\right)=f_{yy}\left(x,y\right)}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)=f_{xy}\left(x,y\right)}$

をそれぞれ求め

${\displaystyle A=f_{xx}\left(a,b\right),}$ ${\displaystyle D={\left\{f_{xy}\left(a,b\right)\right\}}^2-f_{xx}\left(a,b\right)·f_{yy}\left(a,b\right)}$

を計算して極値を判定する．

■解説

与式を ${\displaystyle x}$ で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分）すると

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^3+y^3-12x-27y\right)}$ ${\displaystyle =3x^2-12}$

次に ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle y}$ で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分）すると

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(x^3+y^3-12x-27y\right)}$ ${\displaystyle =3y^2-27}$

両者を連立さる．

${\displaystyle \{\begin{array}{l}3x^2-12=0\cdots \cdots \left(1\right)\\ 3y^2-27=0\cdots \cdots \left(2\right)\end{array}}$

(1)から

${\displaystyle 3x^2-12=0}$，${\displaystyle 3x^2=12}$，${\displaystyle x^2=4}$，${\displaystyle x=\pm 2}$

次に(2)から

${\displaystyle 3y^2-27=0}$，${\displaystyle 3y^2=27}$，${\displaystyle y^2=9}$，${\displaystyle y=\pm 3}$

以上から極値をとる候補は ${\displaystyle \left(2,3\right)}$，${\displaystyle \left(2,-3\right)}$，${\displaystyle \left(-2,3\right)}$，${\displaystyle \left(-2,-3\right)}$ の4点となる．

次に

${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\left(x,y\right)=f_{xx}\left(x,y\right)}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial y^2}f\left(x,y\right)=f_{yy}\left(x,y\right)}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)=f_{xy}\left(x,y\right)}$

をそれぞれ求める．

${\displaystyle f_{xx}\left(x,y\right)=}$${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(3x^2-12\right)}$ ${\displaystyle =6x}$

${\displaystyle f_{yy}\left(x,y\right)=}$${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial y^2}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(3y^2-27\right)}$ ${\displaystyle =6y}$

${\displaystyle f_{xy}\left(x,y\right)=}$${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(3x^2-12\right)}$ ${\displaystyle =0}$

$\left(x,y\right)=\left(a,b\right)$における$A$，$D$の値は

${\displaystyle A}$${\displaystyle =f_{xx}\left(a,b\right)}$${\displaystyle =6a}$

${\displaystyle D}$${\displaystyle ={\left\{f_{xy}\left(a,b\right)\right\}}^2-f_{xx}\left(a,b\right)·f_{yy}\left(a,b\right)}$${\displaystyle =0^2-6a·6b}$${\displaystyle =-36ab}$

これを元に各点における ${\displaystyle A,D}$ を求める．

●点 ${\displaystyle \left(2,3\right)}$ においては

${\displaystyle A}$${\displaystyle =6·2}$${\displaystyle =12}$

${\displaystyle D}$${\displaystyle =-36·2·3}$${\displaystyle =-216}$

となり ${\displaystyle A>0,D<0}$ から点 ${\displaystyle \left(2,3\right)}$ で極小となる．

この点での値は

${\displaystyle f\left(2,3\right)}$${\displaystyle =2^3+3^3-12·2-27·3}$${\displaystyle =8+27-24-81}$${\displaystyle =-70}$

●点 ${\displaystyle \left(2,-3\right)}$ においては

${\displaystyle A}$${\displaystyle =6·2}$${\displaystyle =12}$

${\displaystyle D}$${\displaystyle =-36·2·\left(-3\right)}$${\displaystyle =216}$

${\displaystyle D>0}$ となり ${\displaystyle \left(2,-3\right)}$ は極値ではない．

●点 ${\displaystyle \left(-2,3\right)}$ においては

${\displaystyle A}$${\displaystyle =6·\left(-2\right)}$${\displaystyle =-12}$

${\displaystyle D}$${\displaystyle =-36·\left(-2\right)·3}$${\displaystyle =216}$

${\displaystyle D>0}$ となり ${\displaystyle \left(-2,3\right)}$ は極値ではない．

●点 ${\displaystyle \left(-2,-3\right)}$ においては

${\displaystyle A}$${\displaystyle =6·\left(-2\right)}$${\displaystyle =-12}$

${\displaystyle D}$${\displaystyle =-36·\left(-2\right)·\left(-3\right)}$${\displaystyle =-216}$

となり， ${\displaystyle A<0,D<0}$ から点 ${\displaystyle \left(-2,-3\right)}$ で極大となる．

この点での値は

${\displaystyle f\left(-2,-3\right)}$${\displaystyle ={\left(-2\right)}^3+{\left(-3\right)}^3-12·\left(-2\right)-27·\left(-3\right)}$${\displaystyle =-8-27+24+81}$${\displaystyle =70}$

以上からこの関数は点 ${\displaystyle \left(2,3\right)}$ で極小値 ${\displaystyle -70}$ をとり，点 ${\displaystyle \left(-2,-3\right)}$ で極大値 ${\displaystyle 70}$ をとる．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日

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