2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ．

$f (x, y) = cos x + cos y + cos (x + y)$ $f (x, y) = cos x + cos y + cos (x + y)$ 　 $(0 < x < π, 0 < y < π)$ $(0 < x < π, 0 < y < π)$

■答

$(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ で極小値 $- \frac{3}{2}$ $- \frac{3}{2}$ をとる．

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する．

与えられた関数を $x, y$ $x, y$ でそれぞれ偏微分し，連立方程式

${\begin{cases} \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = 0 \\ \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = 0 \end{cases}$ ${\begin{cases} \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = 0 \\ \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = 0 \end{cases}$

とし，その解 $(x, y) = (a, b)$ $(x, y) = (a, b)$ を求める．

更に

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f (x, y) = f_{x x} (x, y)$ $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f (x, y) = f_{x x} (x, y)$ ， $\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} f (x, y) = f_{y y} (x, y)$ $\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} f (x, y) = f_{y y} (x, y)$ ， $\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} f (x, y) = f_{x y} (x, y)$ $\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} f (x, y) = f_{x y} (x, y)$

をそれぞれ求め

$A = f_{x x} (a, b),$ $A = f_{x x} (a, b),$ $D = {f_{x y} (a, b)}^{2} - f_{x x} (a, b) \cdot f_{y y} (a, b)$ $D = {f_{x y} (a, b)}^{2} - f_{x x} (a, b) \cdot f_{y y} (a, b)$

を計算して極値を判定する．

■解説

与式を $x$ $x$ で偏微分（偏導関数の定義より， $y$ $y$ を定数とみなして $x$ $x$ で微分）すると

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ $\frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial x} (cos x + cos y + cos (x + y))$ $= \frac{\partial}{\partial x} (cos x + cos y + cos (x + y))$ $= - sin x - sin (x + y) \cdot 1$ $= - sin x - sin (x + y) \cdot 1$ $= - sin x - sin (x + y)$ $= - sin x - sin (x + y)$

次に $f (x, y)$ $f (x, y)$ を $y$ $y$ で偏微分（偏導関数の定義より， $x$ $x$ を定数とみなして $y$ $y$ で微分）すると

$\frac{\partial}{\partial y} f (x, y)$ $\frac{\partial}{\partial y} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial y} (cos x + cos y + cos (x + y))$ $= \frac{\partial}{\partial y} (cos x + cos y + cos (x + y))$ $= - sin y - sin (x + y) \cdot 1$ $= - sin y - sin (x + y) \cdot 1$ $= - sin y - sin (x + y)$ $= - sin y - sin (x + y)$

両者を連立させる．

${\begin{cases} - sin x - sin (x + y) = 0 \dots \dots (1) \\ - sin y - sin (x + y) = 0 \dots \dots (2) \end{cases}$ ${\begin{cases} - sin x - sin (x + y) = 0 \dots \dots (1) \\ - sin y - sin (x + y) = 0 \dots \dots (2) \end{cases}$

(1)から

$- sin x - sin (x + y) = 0$ $- sin x - sin (x + y) = 0$ ， $sin (x + y) = - sin x$ $sin (x + y) = - sin x$

これを(2)に代入する．

$- sin y - (- sin x) = 0$ $- sin y - (- sin x) = 0$ ， $- sin y + sin x = 0$ $- sin y + sin x = 0$ ， $sin y = sin x$ $sin y = sin x$

$0 < x < π$ $0 < x < π$ ， $0 < y < π$ $0 < y < π$ より

$y = x$ $y = x$ ， $y = π - x$ $y = π - x$ 　（∵ $\sin θ = \sin (π - θ)$ $\sin θ = \sin (π - θ)$ 　ここを参照）

◇ $y = x$ $y = x$ の時

この関係を(1)に代入して

$- sin x - sin (x + x) = 0$ $- sin x - sin (x + x) = 0$ ， $sin x + sin 2 x = 0$ $sin x + sin 2 x = 0$ ， $sin x + 2 sin x cos x = 0$ $sin x + 2 sin x cos x = 0$ （2倍角の公式を使用する）， $sin x (1 + 2 cos x) = 0$ $sin x (1 + 2 cos x) = 0$

$0 < x < π$ $0 < x < π$ より $\sin x \neq 0$ $\sin x \neq 0$ ，よって

$1 + 2 \cos x = 0$ $1 + 2 \cos x = 0$

この方程式を解く．

$1 + 2 cos x = 0$ $1 + 2 cos x = 0$ ， $2 cos x = - 1$ $2 cos x = - 1$ ， $cos x = - \frac{1}{2}$ $cos x = - \frac{1}{2}$

$0 < x < π$ $0 < x < π$ の条件から，これを満たす $x$ $x$ は

$x = \frac{2}{3} π$ $x = \frac{2}{3} π$ 　ここを参照

$y = x$ $y = x$ の関係から，極値をとる候補は $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ の1点となる．

◇ $y = π - x$ $y = π - x$ の時

この関係を(1)に代入する.

$- \sin x - \sin (x + π - x) = 0$ $- \sin x - \sin (x + π - x) = 0$ ， $- \sin x - \sin π = 0$ $- \sin x - \sin π = 0$ ， $- \sin x = 0$ $- \sin x = 0$ ， $\sin x = 0$ $\sin x = 0$

$\sin x \neq 0$ $\sin x \neq 0$ より， $y = π - x$ $y = π - x$ のとき解なし．

次に

をそれぞれ求める．

$f_{x x} (x, y) =$ $f_{x x} (x, y) =$ $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f (x, y)$ $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial}{\partial x} f (x, y))$ $= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial}{\partial x} f (x, y))$ $= \frac{\partial}{\partial x} (- sin x - sin (x + y))$ $= \frac{\partial}{\partial x} (- sin x - sin (x + y))$

$= - cos x - cos (x + y)$ $= - cos x - cos (x + y)$

$f_{x y} (x, y) =$ $f_{x y} (x, y) =$ $\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} f (x, y)$ $\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial x} f (x, y))$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial x} f (x, y))$ $= \frac{\partial}{\partial y} (- sin x - sin (x + y))$ $= \frac{\partial}{\partial y} (- sin x - sin (x + y))$ $= - cos (x + y)$ $= - cos (x + y)$

$f_{y y} (x, y) =$ $f_{y y} (x, y) =$ $\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} f (x, y)$ $\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial y} f (x, y))$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial y} f (x, y))$ $= \frac{\partial}{\partial y} (- sin y - sin (x + y))$ $= \frac{\partial}{\partial y} (- sin y - sin (x + y))$

$= - cos y - cos (x + y)$ $= - cos y - cos (x + y)$

$(x, y) = (a, b)$ $(x, y) = (a, b)$ における $A$ $A$ ， $D$ $D$ の値は

$A$ $A$ $= f_{x x} (a, b)$ $= f_{x x} (a, b)$ $= - cos a - cos (a + b)$ $= - cos a - cos (a + b)$

$D$ $D$ $= {f_{x y} (a, b)}^{2} - f_{x x} (a, b) \cdot f_{y y} (a, b)$ $= {f_{x y} (a, b)}^{2} - f_{x x} (a, b) \cdot f_{y y} (a, b)$

$= {- cos (a + b)}^{2}$ $= {- cos (a + b)}^{2}$ $- (- cos a - cos (a + b)) \cdot (- cos b - cos (a + b))$ $- (- cos a - cos (a + b)) \cdot (- cos b - cos (a + b))$

$= {- cos (a + b)}^{2}$ $= {- cos (a + b)}^{2}$ $- {cos a + cos (a + b)} \cdot {cos b + cos (a + b)}$ $- {cos a + cos (a + b)} \cdot {cos b + cos (a + b)}$

これを元に各点における $A, D$ $A, D$ を求める．

●点 $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ においては

$A$ $A$ $= - cos x - cos (x + y)$ $= - cos x - cos (x + y)$ $= - cos \frac{2}{3} π - cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)$ $= - cos \frac{2}{3} π - cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)$

$= - cos \frac{2}{3} π - cos \frac{4}{3} π$ $= - cos \frac{2}{3} π - cos \frac{4}{3} π$ $= - (- \frac{1}{2}) - (- \frac{1}{2})$ $= - (- \frac{1}{2}) - (- \frac{1}{2})$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ $= 1$ $= 1$

$D$ $D$ $= {- cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)}^{2}$ $= {- cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)}^{2}$

$- {cos \frac{2}{3} π + cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)} \cdot {cos \frac{2}{3} π + cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)}$ $- {cos \frac{2}{3} π + cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)} \cdot {cos \frac{2}{3} π + cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)}$

$= {(- cos \frac{4}{3} π)}^{2}$ $= {(- cos \frac{4}{3} π)}^{2}$ $- (cos \frac{2}{3} π + cos \frac{4}{3} π) \cdot (cos \frac{2}{3} π + cos \frac{4}{3} π)$ $- (cos \frac{2}{3} π + cos \frac{4}{3} π) \cdot (cos \frac{2}{3} π + cos \frac{4}{3} π)$

$= {- (- \frac{1}{2})}^{2}$ $= {- (- \frac{1}{2})}^{2}$ $- (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$ $- (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$

$= {(\frac{1}{2})}^{2} - (- 1) \cdot (- 1)$ $= {(\frac{1}{2})}^{2} - (- 1) \cdot (- 1)$ $= \frac{1}{4} - 1$ $= \frac{1}{4} - 1$ $= - \frac{3}{4}$ $= - \frac{3}{4}$

以上より, $A > 0, D < 0$ $A > 0, D < 0$ から点 $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ で極小となる．

この点での値は

$f (1, 1)$ $f (1, 1)$ $= cos \frac{2}{3} π + cos \frac{2}{3} π + cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)$ $= cos \frac{2}{3} π + cos \frac{2}{3} π + cos (\frac{2}{3} π + \frac{2}{3} π)$

$= cos \frac{2}{3} π + cos \frac{2}{3} π + cos \frac{4}{3} π$ $= cos \frac{2}{3} π + cos \frac{2}{3} π + cos \frac{4}{3} π$ $= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ $= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ $= - \frac{3}{2}$ $= - \frac{3}{2}$

従って，この関数は点 $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ $(\frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ で極小値 $- \frac{3}{2}$ $- \frac{3}{2}$ をとる．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月22日

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