問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

全微分

■問題

次の関数の微小変化 ${\displaystyle dx,dy}$ に対する全微分を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=e^{x}logy}$

■ヒント

与式を変数 ${\displaystyle x,y}$ でそれぞれ偏微分し，全微分の定義に当てはめる．

■答

与式を$x$ で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分）する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(e^{x}logy\right)}$${\displaystyle =e^{x}logy}$

与式を${\displaystyle y}$で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分）する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(e^{x}logy\right)}$${\displaystyle =\frac{e^x}{y}}$

以上からこの関数の全微分 ${\displaystyle df\left(x,y\right)}$ は

${\displaystyle df\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)dx+\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)dy}$

${\displaystyle =e^{x}logydx+\frac{e^x}{y}dy}$

${\displaystyle =e^x\left(logydx+\frac{1}{y}dy\right)}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月22日

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