解の公式の問題

■問題

次の2次方程式の解を解の公式を用いて求めよ．

$2 x^{2} + x + 4 = 0$ $2 x^{2} + x + 4 = 0$

実数解なし

解を複素数の範囲にまで拡張すると

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{31} i}{4}$ $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{31} i}{4}$

${\begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = 4 \end{matrix}$ ${\begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = 4 \end{matrix}$ である．

これを $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ の解の公式に代入すると

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$ $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

$= \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 32}}{4}$ $= \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 32}}{4}$

$= \frac{- 1 \pm \sqrt{- 31}}{4}$ $= \frac{- 1 \pm \sqrt{- 31}}{4}$

判別式 $D$ $D$ の値が負（ $D = - 31 < 0$ $D = - 31 < 0$ ）となり

2次方程式の実数解はなし

となる．

解を複素数の範囲にまで拡張すると

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{31} i}{4}$ $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{31} i}{4}$

最終更新日： 2025年2月9日