定義域、値域、変化量に関する問題

■問題

関数 $y = \frac{1}{x - 2}$ $y = \frac{1}{x - 2}$ について，定義域と値域を答え，さらに $x$ $x$ が $a$ $a$ から $a + 1$ $a + 1$ まで変化したとき関数の値の変化量 $Δ y$ $Δ y$ を求めよ． $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ とおくと， $Δ y = f (a + 1) - f (a)$ $Δ y = f (a + 1) - f (a)$ となる．

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■答

定義域： $x = 2$ $x = 2$ を除く実数全体（または， $x \neq 2$ $x \neq 2$ の実数全体）

値域： $y = 0$ $y = 0$ を除く実数全体（または， $y \neq 0$ $y \neq 0$ の実数全体）

$f (a + 1) - f (a)$ $f (a + 1) - f (a)$ $= - \frac{1}{(a - 1) (a - 2)}$ $= - \frac{1}{(a - 1) (a - 2)}$

■解説

$y = \frac{1}{x - 2}$ $y = \frac{1}{x - 2}$ のグラフは $y = \frac{1}{x}$ $y = \frac{1}{x}$ のグラフを $x$ $x$ 軸方向に $2$ $2$ へ平行移動したもので図のようになる． $x$ $x$ 軸と直線 $x = 2$ $x = 2$ が漸近線となっている．

となる．

グラフより

定義域は， $x = 2$ $x = 2$ を除く実数全体（または， $x \neq 2$ $x \neq 2$ の実数全体）

値域は， $y = 0$ $y = 0$ を除く実数全体（または， $y \neq 0$ $y \neq 0$ の実数全体）

となる．

$f (a + 1) - f (a)$ $f (a + 1) - f (a)$ $= \frac{1}{(a + 1) - 2} - \frac{1}{a - 2}$ $= \frac{1}{(a + 1) - 2} - \frac{1}{a - 2}$

$= \frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a - 2}$ $= \frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a - 2}$

通分する．

$= \frac{(a - 2) - (a - 1)}{(a - 1) (a - 2)}$ $= \frac{(a - 2) - (a - 1)}{(a - 1) (a - 2)}$

$= \frac{a - 2 - a + 1}{(a - 1) (a - 2)}$ $= \frac{a - 2 - a + 1}{(a - 1) (a - 2)}$

$= \frac{- 1}{(a - 1) (a - 2)}$ $= \frac{- 1}{(a - 1) (a - 2)}$

$= - \frac{1}{(a - 1) (a - 2)}$ $= - \frac{1}{(a - 1) (a - 2)}$

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最終更新日： 2025年2月9日

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