2次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $x$ $x$ 切片が $1$ $1$ ， $3$ $3$ , $y$ $y$ 切片が $3$ $3$ の2次関数のグラフである．グラフを表す2次関数の式を求めよ．

■動画解説

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■答

$y = (x - 1) (x - 3)$ $y = (x - 1) (x - 3)$

■ヒント

グラフの

x

$x$ 切片が

α

$α$ ，

β

$β$ である2次関数を参照

■解説

$x$ $x$ 切片が $1$ $1$ ， $3$ $3$ より，2次関数は一般的に

$y = a (x - 1) (x - 3)$ $y = a (x - 1) (x - 3)$ ･･････(1)

ただし， $a$ $a$ は定数

と表される．

$y$ $y$ 切片が $3$ $3$ より，(1)に $x = 0$ $x = 0$ ， $y = 3$ $y = 3$ を代入する．

$3 = a (0 - 1) (0 - 3)$ $3 = a (0 - 1) (0 - 3)$

$3 = 3 a$ $3 = 3 a$

$a = 1$ $a = 1$ ･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

$y = (x - 1) (x - 3)$ $y = (x - 1) (x - 3)$ ･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

■別解

2次関数は一般的に

$y = a x^{2} + b x + c$ $y = a x^{2} + b x + c$ ･･････(4)

と表される．

$x$ $x$ 切片が $1$ $1$ ， $3$ $3$ , $y$ $y$ 切片が $3$ $3$ より

$x = 1$ $x = 1$ のとき $y = 0$ $y = 0$
$x = 3$ $x = 3$ のとき $y = 0$ $y = 0$
$x = 0$ $x = 0$ のとき $y = 3$ $y = 3$

となるので，以下の連立方程式が成り立つ．

$\{\begin{cases} a + b + c = 0 \\ 9 a + 3 b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}$ $\{\begin{cases} a + b + c = 0 \\ 9 a + 3 b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}$	･･････(5)
	･･････(6)
	･･････(7)

この連立方程式を解く

（5)，(6)に(7)を代入する．

$a + b + 3 = 0$ $a + b + 3 = 0$ ･･････(8)

$9 a + 3 b + 3 = 0$ $9 a + 3 b + 3 = 0$ ･･････(9)

(8)より

$b = - a - 3$ $b = - a - 3$ ･･････(10)

(10)を(9)に代入する．

$9 a + 3 (- a - 3) + 3 = 0$ $9 a + 3 (- a - 3) + 3 = 0$

$6 a - 6 = 0$ $6 a - 6 = 0$

$a = 1$ $a = 1$ ･･････(11)

(11)を(10)に代入する．

$1 + b + 3 = 0$ $1 + b + 3 = 0$

$b = - 4$ $b = - 4$ ･･････(12)

(7)，(11)，(12)を(4)に代入する．

$y = x^{2} - 4 x + 3$ $y = x^{2} - 4 x + 3$ ･･････(13)

(13)が求める2次関数である．(13)を因数分解すると(3)になる．

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最終更新日： 2025年2月20日