方程式の解の存在に関する問題

■問題

解の存在定理を用いて，方程式 $3^{x} = 6 x - 1$ $3^{x} = 6 x - 1$ が， $0 < x < 1$ $0 < x < 1$ の区間に実数解を持つことを示せ．

関数

y = f (x)

$y = f (x)$ が閉区間

[a, b]

$[a, b]$ において連続で，かつ，

f (a) \cdot f (b) < 0

$f (a) \cdot f (b) < 0$ ならば，開区間

(a, b)

$(a, b)$ に方程式

f (x) = 0

$f (x) = 0$ の実数解が少なくとも1つの存在する．

$f (x) = 3^{x} - 6 x + 1$ $f (x) = 3^{x} - 6 x + 1$ と置く．

指数関数 $3^{x}$ $3^{x}$ と一次関数 $6 x - 1$ $6 x - 1$ の差から成る関数 $f (x)$ $f (x)$ は実数全体で連続である．よって

$f (x)$ $f (x)$ は， $0 < x < 1$ $0 < x < 1$ の区間で連続である　･･････(1)

また

$f (0) = 3^{0} - 6 \cdot 0 + 1$ $f (0) = 3^{0} - 6 \cdot 0 + 1$ $= 1 - 0 + 1$ $= 1 - 0 + 1$ $= 2$ $= 2$ ･･････(2)

$f (1) = 3^{1} - 6 \cdot 1 + 1$ $f (1) = 3^{1} - 6 \cdot 1 + 1$ $= 3 - 6 + 1$ $= 3 - 6 + 1$ $= - 2$ $= - 2$ ･･････(3)

(1)，(2)より

$f (0) \cdot f (1) = 2 \cdot (- 2) = - 4 < 0$ $f (0) \cdot f (1) = 2 \cdot (- 2) = - 4 < 0$ ･･････(4)

である．

方程式 $3^{x} = 6 x - 1$ $3^{x} = 6 x - 1$ は， $0 < x < 1$ $0 < x < 1$ の区間に少なくとも1つ実数解を持つ

ことになる．

最終更新日： 2025年2月20日