2次方程式に関する問題

■問題

次の2次方程式の解を因数分解することにより求めよ．

$x^{2} + 3 x - \frac{7}{4} = 0$ $x^{2} + 3 x - \frac{7}{4} = 0$

■動画解説

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■答

$x = - \frac{7}{2}, \frac{1}{2}$ $x = - \frac{7}{2}, \frac{1}{2}$

■ヒント

平方完成を利用した因数分解

たすきがけ手法による因数分解の手順

■解説

$x^{2} + 3 x - \frac{7}{4}$ $x^{2} + 3 x - \frac{7}{4}$ $= (x + \frac{7}{2}) (x - \frac{1}{2})$ $= (x + \frac{7}{2}) (x - \frac{1}{2})$ $= 0$ $= 0$ ･･････(1)

因数分解の計算はここに掲載

(1)が成り立つのは

$x + \frac{7}{2} = 0$ $x + \frac{7}{2} = 0$ ，または， $x - \frac{1}{2} = 0$ $x - \frac{1}{2} = 0$

である．よって

$x = - \frac{7}{2}, \frac{1}{2}$ $x = - \frac{7}{2}, \frac{1}{2}$

となる．

●異なる因数分解の仕方

定数項が分数であるのでたすき掛けによる因数分解が難しい．よって，与式の両辺に4を掛けてから因数分解をする．

$(x^{2} + 3 x - \frac{7}{4}) \times 4 = 0 \times 4$ $(x^{2} + 3 x - \frac{7}{4}) \times 4 = 0 \times 4$

$4 x^{2} + 12 x - 7 = 0$ $4 x^{2} + 12 x - 7 = 0$

たすきがけ手法による因数分解の手順を参考に因数分解をする．

$\begin{array}{l} \underline{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \times \begin{matrix} 7 \\ - 1 \end{matrix} \begin{matrix} \to \\ \to \end{matrix} \begin{matrix} 14 \\ - 2 \end{matrix}} \\ 4 - 7 12 \end{array}$ $\begin{array}{l} \underline{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \times \begin{matrix} 7 \\ - 1 \end{matrix} \begin{matrix} \to \\ \to \end{matrix} \begin{matrix} 14 \\ - 2 \end{matrix}} \\ 4 - 7 12 \end{array}$

より

$(2 x + 7) (2 x - 1) = 0$ $(2 x + 7) (2 x - 1) = 0$

が得られる．よって

$x = - \frac{7}{2}, \frac{1}{2}$ $x = - \frac{7}{2}, \frac{1}{2}$

となる．

●解の公式を用いた場合

解の公式

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

を用いる．よって

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- \frac{7}{4})}}{2}$ $x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- \frac{7}{4})}}{2}$ $= \frac{- 3 \pm \sqrt{16}}{2}$ $= \frac{- 3 \pm \sqrt{16}}{2}$ $= \frac{- 3 \pm 4}{2}$ $= \frac{- 3 \pm 4}{2}$ $= \frac{7}{2}, \frac{1}{2}$ $= \frac{7}{2}, \frac{1}{2}$

となる．

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最終更新日： 2025年2月9日

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●解の公式を用いた場合

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