2次関数のグラフの式を求める問題

■問題

放物線 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 7$ $y = - 2 x^{2} + 4 x + 7$ と直線 $y = 2 x - 5$ $y = 2 x - 5$ の交点を求めよ．

$(- 2, - 9)$ $(- 2, - 9)$ ， $(3, 1)$ $(3, 1)$

$y = - 2 x^{2} + 4 x + 7$ $y = - 2 x^{2} + 4 x + 7$ ･･････(1)

$y = 2 x - 5$ $y = 2 x - 5$ ･･････(2)

(1)と(2)のグラフの交点を求めることは，(1)と(2)に共通する $x$ $x$ と $y$ $y$ の組を求めることである．よって，(1)と(2)の連立方程式の解を解けばよい．

まず，(1)ー(2)の計算を行い $y$ $y$ を消去すると

$0 = - 2 x^{2} + 2 x + 12$ $0 = - 2 x^{2} + 2 x + 12$ ･･････(3)

が得られる．

(3)の $x$ $x$ の2次方程式を解く．

$- 2 x^{2} + 2 x + 12 = 0$ $- 2 x^{2} + 2 x + 12 = 0$

$- 2 (x^{2} - x - 6) = 0$ $- 2 (x^{2} - x - 6) = 0$

$- 2 (x + 2) (x - 3) = 0$ $- 2 (x + 2) (x - 3) = 0$

よって

$x = - 2, 3$ $x = - 2, 3$

となる．

(2)に $x = - 2$ $x = - 2$ を代入すると

$y = 2 (- 2) - 5 = - 9$ $y = 2 (- 2) - 5 = - 9$

(2)に $x = 3$ $x = 3$ を代入すると

$y = 2 \cdot 3 - 5 = 1$ $y = 2 \cdot 3 - 5 = 1$

となる．

以上より，求める交点は

$(- 2, - 9)$ $(- 2, - 9)$ ， $(3, 1)$ $(3, 1)$

である．

$y = - 2 x^{2} + 4 x + 7$ $y = - 2 x^{2} + 4 x + 7$

$= - 2 (x^{2} - 2 x) + 7$ $= - 2 (x^{2} - 2 x) + 7$

$= - 2 {(x - 1)}^{2} + 9$ $= - 2 {(x - 1)}^{2} + 9$

$(1, 9)$ $(1, 9)$

である．

最終更新日： 2025年2月9日