三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$θ = \frac{1}{6} π, \frac{11}{6} π$ $θ = \frac{1}{6} π, \frac{11}{6} π$

$\cos θ$ $\cos θ$ の値は単位円上の点の $x$ $x$ 座標に相当する(ここを参照)．

まず，図のように単位円を描く．このとき，原点を $O$ $O$ とする． $y$ $y$ 軸と平行な線である $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を描く．

描いた線と単位円との交点を $P$ $P$ ， $Q$ $Q$ とし，原点 $O$ $O$ と線で結ぶ．線分 $PQ$ $PQ$ と $x$ $x$ 軸の交点を $R$ $R$ とし，直角三角形 $OPR$ $OPR$ ，直角三角形 $OQR$ $OQR$ の内角を求める．

$OP = 1$ $OP = 1$ ， $PR = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $PR = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

$∠ POR = \frac{1}{6} π$ $∠ POR = \frac{1}{6} π$

となる．よって

$θ_{1} = \frac{1}{6} π$ $θ_{1} = \frac{1}{6} π$

$θ_{2}$ $θ_{2}$ を算出する.

$∠ POR = ∠ QOR = \frac{1}{6} π$ $∠ POR = ∠ QOR = \frac{1}{6} π$

より

$θ_{2} = 2 π - \frac{1}{6} π = \frac{11}{6} π$ $θ_{2} = 2 π - \frac{1}{6} π = \frac{11}{6} π$

となる．

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最終更新日：2025年3月4日