三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos θ = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

$θ = \frac{3}{4} π, \frac{5}{4} π$ $θ = \frac{3}{4} π, \frac{5}{4} π$

$cos θ$ $cos θ$ の値は単位円上の点の $x$ $x$ 座標に相当する(ここを参照)．

まず，図のように単位円を描く．このとき，原点を $O$ $O$ とする． $y$ $y$ 軸と平行な線である $x = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ $x = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ を描く．

描いた線と単位円との交点を $P$ $P$ ， $Q$ $Q$ とし，原点 $O$ $O$ と線で結ぶ．

$P$ $P$ ， $Q$ $Q$ から $y$ $y$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を $R$ $R$ ， $S$ $S$ とし，直角三角形 $OPR$ $OPR$ ， $OQS$ $OQS$ の内角を求める．

$OP = 1$ $OP = 1$ ， $PR = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $PR = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

$∠ POR = \frac{1}{4} π$ $∠ POR = \frac{1}{4} π$

となる．よって

$θ_{1} = \frac{1}{2} π + \frac{1}{4} π = \frac{3}{4} π$ $θ_{1} = \frac{1}{2} π + \frac{1}{4} π = \frac{3}{4} π$

同様に $θ_{2}$ $θ_{2}$ を算出すると

$θ_{2} = \frac{3}{2} π - \frac{1}{4} π = \frac{5}{4} π$ $θ_{2} = \frac{3}{2} π - \frac{1}{4} π = \frac{5}{4} π$

となる．

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最終更新日： 2025年3月5日