三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ とする．

$0 < \tan 2 (θ + \frac{π}{4}) < \sqrt{3}$

$\frac{π}{4} < θ < \frac{5}{12} π$

$2 (θ + \frac{π}{4}) = t$ ･･････(1)

とおくと

$0 ≦ θ < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{4} ≦ θ + \frac{π}{4} < \frac{3}{4} π$

$\frac{π}{2} ≦ 2 (θ + \frac{π}{4}) < \frac{3}{2} π$

より

$\frac{π}{2} ≦ t < \frac{3}{2} π$

となる．

問題を $t$ を使って書き直すと

次の不等式を解け．ただし， $\frac{π}{2} ≦ t < \frac{3}{2} π$ とする．

$0 < \tan t < \sqrt{3}$

まず， $0 ≦ t < 2 π$ の範囲で

$\tan t = 0$ ， $\tan t = \sqrt{3}$

を満たす $t$ を求める．

$\tan θ = 0$ の場合は

$t = 0, π$

$\tan t = \sqrt{3}$ の場合は以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\tan t = \sqrt{3}$ ⇒ 解

$t = \frac{1}{3} π, \frac{4}{3} π$

$\tan t$ は単位円に引いた補助線 $x = 1$ の直線上の点の $y$ 成分に相当することを考慮して， $t$ を用いて書き直した不等式 $0 < \tan t < \sqrt{3}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$\frac{π}{2} ≦ t < \frac{3}{2} π$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が $t$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

$π < t < \frac{4}{3} π$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を $θ$ の範囲に書き換えると

$π < 2 (θ + \frac{π}{4}) < \frac{4}{3} π$

$\frac{1}{2} π < θ < \frac{2}{3} π$

$\frac{1}{2} π - \frac{π}{4} < θ < \frac{2}{3} π - \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < θ < \frac{5}{12} π$

となる．

最終更新日： 2025年4月11日