三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $\frac{1}{2} π ≦ θ ≦ \frac{3}{2} π$ とする．

$- \frac{1}{2} ≦ \sin θ ≦ \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{2}{3} π ≦ θ ≦ \frac{7}{6} π$

まず， $0 ≦ θ < 2 π$ の範囲で

$\sin θ = - \frac{1}{2}$ ， $\sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

を満たす $θ$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\sin θ = - \frac{1}{2}$ 　⇒ 解

$θ = \frac{7}{6} π, \frac{11}{6} π$

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 　⇒ 解

$θ = \frac{1}{3} π, \frac{2}{3} π$

$\sin θ$ は単位円上の点の $x$ 成分に相当することを考慮して，与式の不等式を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$\frac{1}{2} π ≦ θ ≦ \frac{3}{2} π$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が答えとなる．よって，答えは

$\frac{2}{3} π ≦ θ ≦ \frac{7}{6} π$

となる．

最終更新日： 2023年4月15日