三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$- 1 < tan (θ - \frac{π}{6}) ≦ \sqrt{3}$

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ ， $\frac{11}{12} π < θ ≦ \frac{3}{2} π$ ， $\frac{23}{12} π < θ < 2 π$

$θ - \frac{π}{6} = t$ ･･････(1)

とおくと

$0 ≦ θ < 2 π$

$0 - \frac{π}{6} ≦ θ - \frac{π}{6} < 2 π - \frac{π}{6}$

より

$- \frac{π}{6} ≦ t < \frac{11}{6} π$

となる．

問題を $t$ を使って書き直すと

次の不等式を解け．ただし， $- \frac{π}{6} ≦ t < \frac{11}{6} π$ とする．

$- 1 < tan t ≦ \sqrt{3}$

まず， $0 ≦ t < 2 π$ の範囲で

$\tan t = - 1$ ， $\tan t = \sqrt{3}$

を満たす $t$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\tan θ = - 1$ ⇒ 解

$t = \frac{3}{4} π, \frac{7}{4} π$

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\tan θ = \sqrt{3}$ ⇒ 解

$t = \frac{1}{3} π, \frac{4}{3} π$

$\tan t$ は単位円に引いた補助線 $x = 1$ の直線上の点の $y$ 成分に相当することを考慮して， $t$ を用いて書き直した不等式 $- 1 < tan t ≦ \sqrt{3}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$- \frac{π}{6} ≦ t < \frac{11}{6} π$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が $t$ を用いて書き直した問題答えとなる．その答えは

$- \frac{π}{6} ≦ t ≦ \frac{π}{3}$ ， $\frac{3}{4} π < t ≦ \frac{4}{3} π$ ， $\frac{7}{4} π < t < \frac{11}{6} π$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を $θ$ の範囲に書き換えると

$- \frac{π}{6} ≦ θ - \frac{π}{6} ≦ \frac{π}{3}$ 　→　 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$

$\frac{3}{4} π < θ - \frac{π}{6} ≦ \frac{4}{3} π$ 　→　 $\frac{11}{12} π < θ ≦ \frac{3}{2} π$

$\frac{7}{4} π < θ - \frac{π}{6} < \frac{11}{6} π$ 　→　 $\frac{23}{12} π < θ < 2 π$

となる．

最終更新日： 2025年2月20日