三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

$2 cos \frac{1}{3} θ = \sqrt{2}$ $[\frac{π}{2} ≦ θ < π]$

$\frac{3}{4} π$

$\frac{1}{3} θ$ を $α$ と置き換えて計算を行う．

$\frac{1}{3} θ = α$ ･･････(1)

とおくと，与式は

$2 \cos α = \sqrt{2}$

$\cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos α = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と $θ$ の範囲から， $α$ の範囲を求める．

$\frac{π}{2} ≦ θ < π$

$\frac{π}{6} ≦ \frac{1}{3} θ < \frac{π}{3}$

よって， $α$ の範囲は

$\frac{π}{6} ≦ α < \frac{π}{3}$ ･･････(3)

となる．

(2)を満たす $α$ を求める(図の $α_{1}$ ， $α_{2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ⇒ 解

$α_{1} = \frac{π}{4}, α_{2} = \frac{7}{4} π$

(3)より $α_{2}$ は範囲外であり， $θ = 3 α$ なので，求める角 $θ$ は

$θ = \frac{3}{4} π$

となる．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月12日