三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

$2 \cos (3 θ - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ $2 \cos (3 θ - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ $[0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}]$ $[0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}]$

■解説動画

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■答

$\frac{13}{36} π, \frac{17}{36} π$ $\frac{13}{36} π, \frac{17}{36} π$

■ヒント

$3 θ - \frac{π}{4}$ $3 θ - \frac{π}{4}$ を $α$ $α$ と置き換えて計算を行う．

$\cos θ = c$ $\cos θ = c$ の解き方

■解説

$3 θ - \frac{π}{4} = α$ $3 θ - \frac{π}{4} = α$ ･･････(1)

とおくと，与式は

$2 \cos α = - \sqrt{3}$ $2 \cos α = - \sqrt{3}$

$\cos α = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos α = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と $θ$ $θ$ の範囲から， $α$ $α$ の範囲を求める．

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$

$0 ≦ 3 θ ≦ \frac{3}{2} π$ $0 ≦ 3 θ ≦ \frac{3}{2} π$

$- \frac{π}{4} ≦ 3 θ - \frac{π}{4} ≦ \frac{5}{4} π$ $- \frac{π}{4} ≦ 3 θ - \frac{π}{4} ≦ \frac{5}{4} π$

よって， $α$ $α$ の範囲は

$- \frac{π}{4} ≦ α ≦ \frac{5}{4} π$ $- \frac{π}{4} ≦ α ≦ \frac{5}{4} π$ ･･････(2)

となる．

(2)を満たす $α$ $α$ を求める(図の $α_{1}$ $α_{1}$ ， $α_{2}$ $α_{2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ 解

$α_{1} = \frac{5}{6} π, α_{2} = \frac{7}{6} π$ $α_{1} = \frac{5}{6} π, α_{2} = \frac{7}{6} π$

(3)より，どちらも(2)の範囲内であり， $θ = \frac{1}{3} α + \frac{π}{12}$ $θ = \frac{1}{3} α + \frac{π}{12}$ なので，求める角をそれぞれ $θ_{1}, θ_{2}$ $θ_{1}, θ_{2}$ とすると

$θ_{1} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{6} π + \frac{1}{12} π = \frac{13}{36} π$ $θ_{1} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{6} π + \frac{1}{12} π = \frac{13}{36} π$

$θ_{2} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{6} π + \frac{1}{12} π = \frac{17}{36} π$ $θ_{2} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{6} π + \frac{1}{12} π = \frac{17}{36} π$

となる．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月12日

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