問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle \sqrt{2}\cos \left(\theta +\pi \right)=-1}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

■ヒント

$\cos \theta =c$ の解き方

${\displaystyle \theta +\pi }$ を ${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle \theta +\pi =t}$ ･･････(1)

置くと，与式は

${\displaystyle \sqrt{2}\cos t=-1}$

${\displaystyle \cos t=-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ ･･････(2)

となる．

(1)より， ${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$

${\displaystyle \pi \leqq \theta +\pi <3\pi }$

${\displaystyle \pi \leqq t<3\pi }$

${\displaystyle t}$ の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle t}$ は

${\displaystyle t=\frac{5}{4}\pi ,\frac{3}{4}\pi +2\pi }$

${\displaystyle t=\frac{5}{4}\pi ,\frac{11}{4}\pi }$

${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle \theta }$ に戻す．

${\displaystyle \theta +\pi =\frac{5}{4}\pi ,\frac{11}{4}\pi }$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

　

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最終更新日： 2025年3月1日

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