三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$2 \cos (3 θ + \frac{1}{2} π) = \sqrt{3}$ $2 \cos (3 θ + \frac{1}{2} π) = \sqrt{3}$

■動画解説

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■答

$θ = \frac{4}{9} π, \frac{5}{9} π, \frac{10}{9} π, \frac{11}{9} π, \frac{16}{9} π, \frac{17}{9} π$ $θ = \frac{4}{9} π, \frac{5}{9} π, \frac{10}{9} π, \frac{11}{9} π, \frac{16}{9} π, \frac{17}{9} π$

■ヒント

$3 θ + \frac{1}{2} π = t$ $3 θ + \frac{1}{2} π = t$ を $t$ $t$ と置き換えて計算を行う．

$\cos θ = c$ $\cos θ = c$ の解き方

■解説

$3 θ + \frac{1}{2} π = t$ $3 θ + \frac{1}{2} π = t$ ･･････(1)

と置く．与式は

$2 \cos t = \sqrt{3}$ $2 \cos t = \sqrt{3}$

$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ･･････(2)

となる．

(2)の変数 $t$ $t$ の範囲を(1)の関係より求める．

$0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$

$0 ≦ 3 θ < 6 π$ $0 ≦ 3 θ < 6 π$

$\frac{1}{2} π ≦ 3 θ + \frac{1}{2} π < 6 π + \frac{1}{2} π$ $\frac{1}{2} π ≦ 3 θ + \frac{1}{2} π < 6 π + \frac{1}{2} π$

$\frac{1}{2} π ≦ t < \frac{13}{2} π$ $\frac{1}{2} π ≦ t < \frac{13}{2} π$ ･･････(3)

(3)の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ 解

$t$ $t$ は

$t = \frac{11}{6} π, \frac{13}{6} π, \frac{23}{6} π, \frac{25}{6} π, \frac{35}{6} π, \frac{37}{6} π$ $t = \frac{11}{6} π, \frac{13}{6} π, \frac{23}{6} π, \frac{25}{6} π, \frac{35}{6} π, \frac{37}{6} π$

(1)の関係を用いて， $t$ $t$ を $θ$ $θ$ に戻す．

$3 θ + \frac{1}{2} π = \frac{11}{6} π, \frac{13}{6} π, \frac{23}{6} π, \frac{25}{6} π, \frac{35}{6} π, \frac{37}{6} π$ $3 θ + \frac{1}{2} π = \frac{11}{6} π, \frac{13}{6} π, \frac{23}{6} π, \frac{25}{6} π, \frac{35}{6} π, \frac{37}{6} π$

$3 θ = \frac{4}{3} π, \frac{5}{3} π, \frac{10}{3} π, \frac{11}{3} π, \frac{16}{3} π, \frac{17}{3} π$ $3 θ = \frac{4}{3} π, \frac{5}{3} π, \frac{10}{3} π, \frac{11}{3} π, \frac{16}{3} π, \frac{17}{3} π$

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最終更新日： 2025年4月11日

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