三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$- 2 \cos^{2} θ + \sin θ + 1 = 0$

$θ = \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π, \frac{3}{2} π$

公式 $\sin^{2} + \cos^{2} = 1$ を用いて式をsin に統一して計算を行う．

公式 $\sin^{2} + \cos^{2} = 1$ を用いて次のように式を変形する．

$- 2 (1 - {sin}^{2} θ) + sin θ + 1 = 0$

$\sin θ = t$ とおき，整理すると次のような2次方程式になる．

$- 2 (1 - t^{2}) + t + 1 = 0$

$- 2 + 2 t^{2} + t + 1 = 0$

$2 t^{2} + t - 1 = 0$ ･･････(1)

(1)を因数分解して解くと次のようになる．

$(2 t - 1) (t + 1) = 0$

$t = \frac{1}{2}$ ， $t = - 1$

$t$ を元に戻すと

$\sin θ = \frac{1}{2}$ ， $sin θ = - 1$

となり，これらの2つの方程式を解く

$\sin θ = \frac{1}{2}$ ⇒ 解

$sin θ = - 1$ ⇒ 解

よって

$\sin θ = \frac{1}{2}$ のとき

$θ = \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π$

$\sin θ = - 1$ のとき

$θ = \frac{3}{2} π$

最終更新日： 2025年3月1日