三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$2 \cos^{2} θ \tan^{2} θ - 1 = 0$

$θ = \frac{1}{4} π, \frac{3}{4} π, \frac{5}{4} π, \frac{7}{4} π$

公式 $\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$ を用いて式をsin に統一して計算を行う．

公式 $\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$ を用いて式を与式のように変形する．

$2 {(\cos θ \tan θ)}^{2} - 1 = 0$

$2 {(\cos θ \frac{\sin θ}{\cos θ})}^{2} - 1 = 0$

$2 \sin^{2} θ - 1 = 0$

$sin θ = t$ とおくと式は次のようになる．

$2 t^{2} - 1 = 0$ ･････(1)

(1)を因数分解して解くと次のような2次方程式になる．

$(\sqrt{2} t + 1) (\sqrt{2} t - 1) = 0$

$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ， $t = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t$ を元に戻すと

$\sin θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ， $\sin θ = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

となり，これらの2つの方程式を解く

$\sin θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ⇒ 解

$\sin θ = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ ⇒ 解

よって

$\sin θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

$θ = \frac{1}{4} π, \frac{3}{4} π$

$\sin θ = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

$θ = \frac{5}{4} π, \frac{7}{4} π$

最終更新日： 2025年3月1日