三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$2 \sin θ \tan θ = - 3$

$θ = \frac{2}{3} π ， \frac{4}{3} π$

三角関数の関係式を用いて与式をcos に統一して計算を行う．

公式 $\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$ を用いて式を次のように変形する．

$2 (\sin θ \frac{\sin θ}{\cos θ}) = - 3$

$2 \frac{\sin^{2} θ}{\cos θ} = - 3$

$2 \sin^{2} θ = - 3 \cos θ$

公式 $\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ を用いて式を $\cos$ に統一する．

$2 (1 - \cos^{2} θ) = - 3 \cos θ$

$(2 - 2 \cos^{2} θ) = - 3 \cos θ$

$- 2 \cos^{2} θ + 3 \cos θ + 2 = 0$

$2 \cos^{2} θ - 3 \cos θ - 2 = 0$

$cos θ = t$ とおくと式は次のような2次関数になる．

$2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ 　･･････(1)

ただし， $- 1 ≦ \cos θ ≦ 1$ より， $- 1 ≦ t ≦ 1$

これを因数分解して解くと次のようになる．

$(2 t + 1) (t - 2) = 0$

$- 1 ≦ t ≦ 1$ より

$t - 2 < 0$

よって

$2 t + 1 = 0$ ， $t = - \frac{1}{2}$

$t$ を元に戻すと

$\cos θ = - \frac{1}{2}$

となる．この方程式を解く．

$\cos θ = - \frac{1}{2}$ 　⇒ 解

よって

$θ = \frac{2}{3} π ， \frac{4}{3} π$

最終更新日： 2023年4月12日