不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int {(3 x^{2} - 5 x + 2)}^{2} (6 x - 5) d x$ 　　

$\frac{1}{3} {(3 x^{2} - 5 x + 2)}^{3} + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

$\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ 　　( $C$ は積分定数)

の公式を用いる．

$3 x^{2} - 5 x + 2 = t$ 　とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$\frac{d t}{d x} = 6 x - 5$ 　∴ $d t = (6 x - 5) d x$ 　　

（ $3 x^{2} - 5 x + 2$ を微分すると $6 x - 5$ になるのは，微分 $x^{α}$ を参照）

与式 $= \int t^{2} d t$ 　　

（置換積分法の公式にあてはめる）

$= \frac{1}{3} t^{3} + C$ 　　

（方針の公式にあてはめる）

$= \frac{1}{3} {(3 x^{2} - 5 x + 2)}^{3} + C$ 　　

（最初に　 $3 x^{2} - 5 x + 2 = t$ 　と置換したので，元に戻す）

求まった答え $\frac{1}{3} {(3 x^{2} - 5 x + 2)}^{3} + C$ 　を微分し，積分前の式　 ${(3 x^{2} - 5 x + 2)}^{2} (6 x - 5)$ 　に戻ることを確認しなさい．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日