不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int 2 x e^{2 x} d x$ 　　

$x e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

$\int f (x) g^{'} (x) d x$ $= f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

の公式を用いる．

$\int 2 x e^{2 x} d x = \int 2 x {(\frac{1}{2} e^{2 x})}^{'} d x$ 　と見て部分積分法を用いる．

与式 $= \int 2 x {(\frac{1}{2} e^{2 x})}^{'} d x$ 　　

$= 2 x \cdot (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int {(2 x)}^{'} \cdot (\frac{1}{2} e^{2 x}) d x$ 　　

（方針の公式にあてはめる）

$= x e^{2 x} - \int 2 \cdot (\frac{1}{2} e^{2 x}) d x$ 　　

（ ${(2 x)}^{'}$ が $2$ になるのは，微分 $x^{α}$ を参照）

$= x e^{2 x} - \int e^{2 x} d x$ 　　

$= x e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 　　

（ $C$ は積分定数）

求まった答え $x e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ を微分し，積分前の式　 $2 x e^{2 x}$ に戻ることを確認しなさい．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日