不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int x \sqrt{3 x - 5} d x$ 　　

$\frac{2}{45} (3 x - 5) \sqrt{3 x - 5} (3 x + \frac{10}{3}) + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

$\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

の公式を用いる．

$3 x - 5 = t$ ，すなわち， $x = \frac{t + 5}{3}$ 　とおくと

$x \sqrt{3 x - 5}$ $= \frac{1}{3} (t + 5) \sqrt{t} = \frac{1}{3} (t^{\frac{3}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}})$ 　･･････(1)

となる．（ $\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$ となるのは，指数に関する定義の $3$ つ目を参照）

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{3}$ ， $d x = \frac{1}{3} d t$ 　･･････(2)

となる．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

与式 $= \int \frac{1}{3} (t^{\frac{3}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{1}{3} d t$ 　

（与式に(1)，(2)を代入する）

$= \frac{1}{9} \int (t^{\frac{3}{2}} + 5 t^{\frac{1}{2}}) d t$ 　　

（ $\frac{1}{9}$ を積分記号 $\int$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$= \frac{1}{9} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}}) + C$ 　　

（方針の公式にあてはめる）

$= \frac{2}{45} t^{\frac{3}{2}} (t + \frac{25}{3}) + C$ 　　

$= \frac{2}{45} (3 x - 5) \sqrt{3 x - 5} (3 x + \frac{10}{3}) + C$ 　　

（最初に　 $3 x - 5 = t$ 　と置換したので，元に戻す）

求まった答え　 $\frac{2}{45} (3 x - 5) \sqrt{3 x - 5} (3 x + \frac{10}{3}) + C$ 　を微分し，積分前の式　 $x \sqrt{3 x - 5}$ 　に戻ることを確認しなさい．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日