問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int xsinxdx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -xcosx+sinx+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int xsinxdx=\int x{\left(-cosx\right)}^{\prime }dx}$ とおいて考える．

（ ${\displaystyle sinx={\left(-cosx\right)}^{\prime }}$ となるのは， ${\displaystyle cosx}$ の微分を参照）

与式 ${\displaystyle =\int x{\left(-cosx\right)}^{\prime }dx}$

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =x·\left(-cosx\right)-\int x^{\prime }·\left(-cosx\right)dx}$

（ ${\displaystyle x^{\prime }=1}$ となるのは，微分 ${\displaystyle x^{\alpha }}$ を参照）

${\displaystyle =x·\left(-cosx\right)-\int \left(-cosx\right)dx}$

（三角関数の積分を参照）

${\displaystyle =-xcosx+sinx+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数） 　　

　

■確認問題

求まった答え　 ${\displaystyle -xcosx+sinx+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle xsinx}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年8月18日

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