問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{3x-1}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}log\left|3x-1\right|+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（C は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int \frac{1}{3x-1}dx}$ 　

${\displaystyle 3x-1=t}$　とおいて，置換積分をする．（置換積分については置換積分法を参照）

${\displaystyle x=\frac{t-1}{3}\to \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}}$ 　　∴${\displaystyle dx=\frac{1}{3}dt}$

（積分　1/(ax+b) も参照）

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{t}·\frac{1}{3}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\int \frac{1}{t}dt}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{3}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{3}log\left|t\right|+C}$ 　

（公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{3}log\left|3x-1\right|+C}$ 　

（最初に ${\displaystyle 3x-1=t}$ 　と置換したので，元にもどす）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{3}log\left|3x-1\right|+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{1}{3x-1}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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