問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2-4}dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}log\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C}$　　（$C$ は積分定数）

■ヒント

部分分数に分解することにより積分できる形に式を変形する．

${\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)}$　･･････(1)

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（$C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$ を部分分数に分解する．

2次式の因数分解の公式の${\displaystyle 5}$ 番目の公式より，${\displaystyle x^2-2^2=\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$ と因数分解できるので，ヒントの(1)式より

${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)}$

よって

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)dx}$ 　

不定積分の基本式用いると

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\int \frac{1}{x-2}dx-\int \frac{1}{x+2}dx\right)}$

ヒントの(2)式より

${\displaystyle {\displaystyle =\frac{1}{4}\left(log\left|x-2\right|-log\left|x+2\right|\right)+C}}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{4}log\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C}$ 　　

（ ${\displaystyle {\log }_a\frac{R}{S}={\log }_{a}R-{\log }_{a}S}$ を参照）

【参考】部分分数分解の他の方法

${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}}$

とおき，両辺に ${\displaystyle \left(x-2\right)\left(x+2\right)}$ をかけてやると

${\displaystyle 1=\left(x+2\right)a+\left(x-2\right)b}$ 　　

このとき，${\displaystyle x=2}$ の場合

${\displaystyle 1=\left(2+2\right)a}$ 　　　

${\displaystyle a=\frac{1}{4}}$ 　　　

また，${\displaystyle x=-2}$ の場合

${\displaystyle 1=\left(-2-2\right)b}$ 　

${\displaystyle b=-\frac{1}{4}}$ 　

したがって

${\displaystyle \frac{1}{x^2-2^2}=\frac{\frac{1}{4}}{x-2}-\frac{\frac{1}{4}}{x+2}}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)}$ 　　

となる．

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{4}log\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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