問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{x}{2x+1}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}log\left|2x+1\right|+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

分子の次数を分母の次数より下げる．

■解説

与式${\displaystyle =\int \left(\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2x+1}\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}•\frac{1}{2}log\left|2x+1\right|+C}$ 　

この積分に関しては，ここを参考にする．

${\displaystyle \mathrm{=}\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}log\left|2x+1\right|+C}$ 　

 

■別解

${\displaystyle 2x+1=t}$ とおく(置換積分)　

${\displaystyle x=\frac{t-1}{2}}$ 　

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}}$，${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$ 　

よって

与式${\displaystyle =\int \frac{\frac{t-1}{2}}{t}•\frac{1}{2}dt}$ 　

${\displaystyle =\int \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{t}\right)dt}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(t-log\left|t\right|\right)+C}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(2x+1-log\left|2x+1\right|\right)+C}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}log\left|2x+1\right|+\frac{1}{4}+C}$ 　

${\displaystyle \frac{1}{4}+C}$ を改めて${\displaystyle C}$ とおく

${\displaystyle =\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}log\left|2x+1\right|+C}$ 　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle \int x\sqrt{3x-5}dx}$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)