問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2x\sin xdx}}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{6}\sin 3x+\frac{1}{2}\sin x+C}$，または，${\displaystyle \frac{2}{3}{\sin }^{3}x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

三角関数の積和の公式より

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta }$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left\{\cos \left(\alpha +\beta \right)-\cos \left(\alpha -\beta \right)\right\}}$ 　･･････${\displaystyle \left(1\right)}$

の公式を用いる．

■解説

この問題では，ヒントの公式 ${\displaystyle \left(1\right)}$ の ${\displaystyle \alpha }$ に${\displaystyle 2x}$ ，${\displaystyle \beta }$ に${\displaystyle x}$ をあてはめる．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(-\frac{1}{2}\cos 3x+\frac{1}{2}\cos x\right)dx}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\sin 3x+\frac{1}{2}\sin x+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{6}\sin 3x+\frac{1}{2}\sin x+C}$

（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■別解　その1

${\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}$ より

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int 2\sin x\cos x\sin xdx}}$

${\displaystyle =2{\displaystyle \int {\sin }^{2}x\cos xdx}}$

${\displaystyle =2{\displaystyle \int {\sin }^{2}x\cos xdx}}$

${\displaystyle \sin x=t}$とおく

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\cos x}$　→　${\displaystyle \cos xdx=dt}$

よって

${\displaystyle =2{\displaystyle \int t^{2}dt}}$

${\displaystyle =2\cdot \frac{1}{3}{t}^3+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{3}{\sin }^{3}x+C}$

（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■別解　その2

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int 2\sin x\cos x\sin xdx}}$

${\displaystyle ={{\displaystyle \int \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)}}^{\prime }\sin xdx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cos 2x\sin x}$${\displaystyle -{\displaystyle \int \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)}\cos xdx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cos 2x\sin x}$${\displaystyle +\frac{1}{2}{\displaystyle \int \cos 2x\cos x}dx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cos 2x\sin x}$${\displaystyle +\frac{1}{2}{\displaystyle \int {\left(\frac{1}{2}\cos 2x\right)}^{\prime }\cos x}dx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cos 2x\sin x}$${\displaystyle +\frac{1}{4}\sin 2x\cos x}$${\displaystyle +\frac{1}{4}{\displaystyle \int \sin 2x\left(-\sin x\right)}dx}$

よって

${\displaystyle \left(1-\frac{1}{4}\right){\displaystyle \int \sin 2x\sin xdx}}$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cos 2x\sin x+\frac{1}{4}\sin 2x\cos x}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3}\left(-2\cos 2x\sin x+\sin 2x\cos x\right)}$

${\displaystyle =-\frac{2}{3}{\sin }^{3}x}$

最後に積分定数${\displaystyle C}$ を加え

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2x\sin xdx=\frac{2}{3}{\sin }^{3}x+C}}$

■${\displaystyle -\frac{1}{6}\sin 3x+\frac{1}{2}\sin x+C}$ と${\displaystyle \frac{2}{3}{\sin }^{3}x+C}$が同じ理由

${\displaystyle \sin 3x}$

${\displaystyle =\sin \left(2x+x\right)}$

${\displaystyle =\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x}$

${\displaystyle =2\sin x\cos x\cos x}$${\displaystyle +\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\sin x}$

${\displaystyle =2\sin x\left(1-{\sin }^{2}x\right)}$${\displaystyle +\left(1-2{\sin }^{2}x\right)\sin x}$

${\displaystyle =2\sin x-2{\sin }^{3}x+\sin x-2{\sin }^{3}x}$

${\displaystyle =3\sin x-4{\sin }^{3}x}$

よって

${\displaystyle -\frac{1}{6}\sin 3x+\frac{1}{2}\sin x+C}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{6}\left(3\sin x-4{\sin }^{3}x\right)+\frac{1}{2}\sin x+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\sin x+\frac{2}{3}{\sin }^{3}x+\frac{1}{2}\sin x+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{3}{\sin }^{3}x+C}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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