問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int x\sqrt{x+1}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{2}{15}\left(3x-2\right)\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+C}$　　（$C$は積分定数）

■解説

${\displaystyle x+1=t}$ とおく(置換積分)．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$　→　${\displaystyle dx=dt}$

${\displaystyle x=t-1}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(t-1\right)\sqrt{t}dt}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(t^{\frac{3}{2}}-t^{\frac{1}{2}}\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{15}{t}^{\frac{3}{2}}\left(3t-5\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{15}\left(x+1\right)\sqrt{x+1}\left(3x-2\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{15}\left(3x-2\right)\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+C}$

（${\displaystyle C}$ は積分定数）

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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