問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{4}{\sqrt{x}}}dx}$  

■答

${\displaystyle 8\sqrt{x}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{4}{\sqrt{x}}}dx}$

(1)を用いて

${\displaystyle =4{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$ 　　

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ を 基本となる関数の積分を用いることのできる形に変形すると

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}={\sqrt{x}}^{-1}=x^{-\frac{1}{2}}}$ 　　

となる．よって

${\displaystyle =4{\displaystyle \int x^{-\frac{1}{2}}}dx}$ 　

(2)を用いて積分すると

${\displaystyle =4·\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}{x}^{-\frac{1}{2}+1}+C}$

${\displaystyle =4·\frac{1}{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle =8\sqrt{x}+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2024年1月21日

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