問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(2\sin x+\frac{1}{3}\cos x\right)dx}}$  

■答

${\displaystyle =-2\cos x+\frac{1}{3}\sin x+C}$ 　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(２)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx}$　･･････(1)

不定積分の基本式(１)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$　･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(4)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(2\sin x+\frac{1}{3}\cos x\right)dx}}$

(1)を用いると 　

${\displaystyle ={\displaystyle \int 2\sin xdx+{\displaystyle \int \frac{1}{3}\cos xdx}}}$

(2)を用いると

${\displaystyle =2{\displaystyle \int \sin xdx+\frac{1}{3}{\displaystyle \int \cos xdx}}}$

(3)，(4)を用いるて,${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx}}$ ，${\displaystyle {\displaystyle \int \cos xdx}}$ をそれぞれ積分すと

${\displaystyle =2\left(-\cos x\right)+\frac{1}{3}\sin x+C}$ 　　（$C$は積分定数）

${\displaystyle =-2\cos x+\frac{1}{3}\sin x+C}$

　

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最終更新日： 2024年2月15日

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