問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}dx}}$

■解説動画

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■答

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)dx}\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)dx}}$ ･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ ( ${\displaystyle \alpha }$ は ${\displaystyle -1}$ 以外の実数) 　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}dx}}$  

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}}$ の分母を有理化する．

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)}$

よって

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right)}dx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left\{{\displaystyle \int \sqrt{x-1}dx+{\displaystyle \int \sqrt{x+1}dx}}\right\}}$

(項ごとに分けることが可能となるのは(1)を参照）

（積分の公式が使えるように ${\displaystyle \sqrt{x-1}}$ を ${\displaystyle x-1}$ の累乗の形に変形しした)

（(2)を参照）

　

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最終更新日： 2025年2月21日

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