不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int cos (5 x + \frac{π}{3}) d x$ 　　

$\frac{1}{5} sin (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

$\int cos x d x = sin x + C$ 　　（ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

$\int cos (5 x + \frac{π}{3}) d x$ 　　

$5 x + \frac{π}{3} = t$ と置いて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$\frac{d t}{d x} = 5$ 　→　 $d x = \frac{1}{5} d t$ 　

よって

与式 $= \int cos t \cdot \frac{1}{5} d t$ 　

$= \frac{1}{5} \int cos t d t$ 　　

（不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

$= \frac{1}{5} \cdot sin t + C$ 　　

（(1)の公式を適用した）

$= \frac{1}{5} sin t + C$ 　　

$= \frac{1}{5} sin (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　　

（最初に， $5 x + \frac{π}{3} = t$ と置換したので，元に戻した）

求まった答え　 $\frac{1}{5} sin (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　を微分し，積分前の式　 $cos (5 x + \frac{π}{3})$ 　に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2023年11月24日