問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-2x}dx}}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

指数/対数の積分 より

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{x}dx=e^x+C}}$　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

置換積分を用いる

${\displaystyle -2x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）． 　　

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2}$ 　→　${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$ 　　

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int e^t}\times \left(-\frac{1}{2}dt\right)}$ 　　

(${\displaystyle -2x=t}$ ，${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$ を代入)

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\displaystyle \int e^{t}dt}}$ 　　

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\times e^t+C}$　　（$C$は積分定数）

( 指数/対数の積分 を参照)

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$

(${\displaystyle -2x=t}$ を元に戻す)

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle e^{-2x}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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